初中学段方程体系起始课教学构想

    邢成云

    【摘 要】 方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，其本质是描述现实世界中的等量关系，而作为整个方程系统的起始课，要具有统领性和先行组织性，除了实现如何从算式走向方程外，还担负着建构方程基本结构的功能，为此对这一体系的起始课进行了整体教学设计，以实现算式到方程的平稳过渡和方程体系的建构，形成结构性思维，指向数学核心、指向数学本质，落实好方程教学的德化育人目标。

    【关键词】 方程体系;起始课;教学构想

    1 基本认识

    方程在小学已经接触，对此有了初步的感知，但一般停留在“它是含有未知数的等式”这一形式化定义的外部表征层面上，初中学段再认识方程，应然是立足方程的本质而教.方程的本质是描述现实世界中的等量关系，它将未知数置于和已知数同等的地位，是用等号将相互等价的两件事情联立，并寻找未知数的过程，可通俗理解为“殊途同归”，也可以理解为朝向同一对象“算两次”，它是数学领域的重要内容，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

    另外，本节课落脚于一元一次方程，其内容既是用“模型思想”解决实际问题的开端，是代数的核心内容之一;又是“数的运算→算式→含字母的代数式→方程概念及列方程（组）→解方程（组）→方程及方程组的应用”这样的知识逻辑链条上的一个关键节点;同时，它还是初中学段“二元一次方程组”和“一元二次方程”的回归基地（根据地），是这两部分知识的“最近发展区”.

    作为整个方程系统的起始课，除了实现如何从算式走向方程外，还担负着建构方程基本结构的功能，为此，笔者通过通盘考虑定位，设计了本节起始课教学.

    首先解决第一个问题——算式到方程的平稳过渡.由于小学生通过多年列算式的强定势，对方程存有排斥心理，甚者说对列算式情有独钟，怎么办？营造一种用方程比用算式便捷的例子，形成反差，制造认知冲突（因为它能体现数学内在矛盾，又能在消除冲突的情绪倾向下产生问题及思路的直觉，这种直觉引导学生思考的方向），让学生初步体会从算式到方程的进步，在比较中，感知与体验，当然这个转化不可能一节课内完成，需要后续的不断策动、感化，让学生对方程的优越性体会的更深刻，自然就会从“算式陣营”走到“方程阵营”中去，我们不是强拖硬拽，而是定位自然转场.由此启用了以下两例：

    （1）猜年龄

    李玲今年12岁，去年，她爸爸的年龄与她年龄的3倍的和是69岁，请问，李玲爸爸今年多少岁？

    （2）丢番图的墓志铭

    古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：

    “他生命的六分之一是幸福的童年;

    再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须;

    他结了婚，又度过了一生的七分之一;

    再过五年，他有了儿子，感到很幸福;

    可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半;

    儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.”

    说明 问题1可用两个方法，看不出各自的优势，但2就不同了，算术法也可行但费力，甚至列不出，而用方程就是举手之劳！如此的反差有策动之力.

    方程初始课的高立意就是用方程的观念和思想引领学生思考，体会为什么要学方程？用方程解决问题是怎样想的、方程相比算式的优越性，让算式的局限窘迫凸现出来，给学生感知的落差，督使学生朝向的转移，进而实现数学育人的高立意.

    第二个问题——建构方程体系.借助文字语言与符号语言的转换，渗透符号意识，列出方程，而后发动学生设定标准归类，勾勒出（有理）方程的整体框架，这是其一;而后提出问题，从算式到方程，算式直接获得了问题的答案，而方程不是，怎么办？由此呼出或唤醒解方程与方程解的概念，接着选择蕴有可用等式性质潜质的一元一次方程，提出解方程首先需要研究等式性质（当然也属于唤醒内容，小学研究过）.如此，方程的研究思路就呈现出来了.

    教学目标：

    （1）用方程表述实际问题中的数量关系，感知其必要性和合理性;

    （2）通过多次对实际问题中数量关系的分析，体会到方程相比于算式的优越性之所在，初步感受方程是刻画现实世界的有效模型，渗透应用意识、符号意识;

    （3）通过分类方程建构方程概念体系，从整体上把握一元一次方程这一章节的核心内容，知晓这一章节的学习任务.

    教学重点：体悟方程模型之用.

    教学难点：如何实现算术法到方程模型解决实际问题的过渡、转化.

    2 教学设计

    2.1 选准起点，比对凸显

    问题1：猜年龄：李玲今年12岁，去年，她爸爸的年龄与她年龄的3倍的和是69岁，请问，李玲爸爸今年多少岁？

    问题2：丢番图的墓志铭（略，见以上）

    设计意图 通过学生的交流体会方程优于算式的地方，顺向与逆向的较量，单纯已知数字参与的运算和已知数、未知数共同参与的运算的对决与反差，应该能对学生产生一定的冲击力，在对比中瓦解学生的初始认识，为转向方程搭起支架;另外，通过使用丢番图墓志铭这一数学故事，激发学习的兴致，感受数学学习的趣味之所在，并感悟数学的人文性及历史价值，培养善于探索的数学思维品质.

    2.2 反思总结，梳理思路

    引导学生再次审视问题1、2列方程的过程，梳理出列方程的基本步骤：找等量关系—设元—列方程，简记为“找—设—列”，实现实际问题向数学问题的转化，其中展现的就是用数学的眼光看世界、用数学的语言表达世界的抽象意识、模型意识.

    一个问题需要关注，算术法直接获得了问题的答案，而方程没有，怎么办？自然引出方程的解和解方程的概念.（这些小学认识过，只不过唤醒而已）

    设计意图 没有反思就没有建构，不经过学生的反思就难以沉淀.故在第一环节教学的基础上，引导学生反思自己获得方程的过程与念头，形成共性认识，达成方程法的基本套路.通过与算术法直接获取答案与方程法先是列了个方程比对，把解方程获得方程的解的必要性给倒逼出来.

    2.3 典例呈现，勾勒全貌

    （1）环形跑道一周400米，沿跑道跑多少周，可以跑3000米？

    （2）如图1，天平左边放着3个乒乓球，右边放5.4克的砝码和一个乒乓球恰好平衡，求一个乒乓球的质量？

    （3）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？

    （4）一个长方形的长比宽多3，面积为120，求这个长方形的宽？

    （5）一个数的倒数等于3，求这个数？

    （6）李英买了单价分别为3元与2.4元的贺卡若干张，一共花了12.6元，问这两种贺卡各买了多少张？

    结合前面的2个方程，获得如下8个方程：

    教学预设 引导学生给出标准尝试分类，以呈现出初中学段的所有方程类型，并根据外形尝试命名.特别凸显对“元”、“次”的认识.而后作出介绍：元习惯用x、y、z等26个字母中后程的字母表示，首开先河的是笛卡尔，我国古代用的是天元术“天元、地元、人元、物元”来表示未知数（注：“元”因此而得名）.

    设计意图 进一步熟悉列方程，体验以方程模型为载体的抽象，一是对环节2.2的落实，体验方程模型的有效性以及通过（4）列出一元二次方程⑥的优越性来敲敲边鼓，因为二次方程类的应用很难用算术法解决，以策动学生实现算术法向方程法的转向，其必要性显现出来;二是以此为载体整体呈现初中学段的方程全貌;三是渗透数学文化，给数学以温度.让同类概念在后继的教学中不再重复、另起锅灶，减低外部认知负荷，节省学生的后继学习力量，直击各类方程本质，便于核心知识的凝聚与整体套路的展望.

    2.4 整体建构，分享体会

    在2.3环节的基础上，类比笔者教材整合后的先行内容有理式分类（整式、分式），把有理方程分成整式方程与分式方程两类，然后通过追问的形式，把常见的整式方程（一元一次、二元一次、一元二次等）列举出来，建构起有理方程体系：

    （有理）方程整式方程一元二次方程一元一次方程二元一次方程……分式方程（猜测）

    然后提出问题：列出这些方程的目的何在？

    教学预设 通过解方程去获得实际问题的解决.

    这样就形成了一个问题解决的闭环：

    接着启用简单例子（2）获得的方程④：3x=5.4+x尝试求解，目的是导出对“等式性质”的研究.因为小学通过天平已经认识了等式性质.所以对它的研究不会有多大阻力，至此，方程的开篇就整体落地了.

    然后基于数学自身趋简的意识，揭开研究最基础的“一元一次方程”的序幕，把一元一次方程的相关概念（一元一次方程、一元一次方程的解、解一元一次方程等）明确.

    设计意图 布尔巴基学派曾指出：“数学并非是研究数量的，而是研究結构的科学.”通过师生、生生交流，勾勒出有理方程的结构全貌以及形成实际问题获解的化归闭环，整体建构方程体系，前瞻后联，最后落脚于方程基地——一元一次方程.

    2.5 聚焦重点，着眼发展

    问题单：

    （1）通过本节课的学习，你对算式与方程在解决实际问题的作用有什么新的认识？

    （2）列举列方程的基本步骤？列方程的目的何在？

    （3）你认为研究方程需要研究什么问题？

    教学说明 有了问题（1）（2）的铺垫，（3）的展望就有了根基，在概念建构的基础上，指出先研究一元一次方程的解法与应用，然后通过“元、次”比对，设想出求解基本路径“消元、降次”，整体的化归思路凸显出来.结合2.4的结构完善体系如下：

    设计说明 问题单使用元认知问句，用生长性小结，立足当下，展望未来，统摄方程体系，形成策略性知识——列方程，求方程的解，解决实际问题.

    2.6 分层作业，各显其能

    必做题：（1）列方程：

    ①某校7年级1班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的45多3人，这个班有男生多少人？

    ②今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期这项收入为多少元？

    ③一列客车与一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶到B地，客车的行驶速度是65km/h，卡车的行驶速度是55 km/h，卡车比客车晚到半小时，A、B两地的路程是多少？

    ④用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各多少元？

    （2）尝试解方程：①x+7=21;②1-2x=5;③2x-1=4+5x.

    设计说明 列方程的题目来自于教材或教材改编，解方程的题目有的出自于本节课的教学所得，是一次资源的再利用，尤其是复杂方程，就直接取之于课堂.3 反思评价

    3.1 教学的高品位

    章建跃博士认为，只有充分地挖掘数学知识蕴涵的价值观资源，并在教学中将知识教学与价值观影响融为一体，才能真正体现“数学育人”.其中，至关重要的是要提高课堂教学的思想性.在课堂教学实践中，要做到“高立意，低起点”[1].本节教学设计就是对此的一种践行、一种尝试，接轨小学的所识，用方程的魅力濡染学生，力图实现算式到方程的初步转身.

    方程是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界.因此，在本节方程体系起始课的学习中，除了建构基本体系外，还应聚焦方程相比算式方程的价值和方程思想，把重心放在关注建模和应用过程，让学生体会为什么要学方程、用方程解决问题是怎样想的，以涵养学生良好的方程思想及观念等，增强学生的数学符号意识、应用意识、建模意识，这些应然是方程教学实现数学育人的最重要的目标，如此为教才是高品位、高立意的教学.

    3.2 对立的统一体

    如果把算式方法看做原始的“石器”时代，方程方法就是在知识、思想和方法上有了重大发展的“铜器”时代[2].但二者不是“老死不相往来”的对立，算术法其实是方程法的根脉，是最简单形式的方程“x=？”，就因为负担一边偏，所以思考起来相对费力，对此，孙维刚老师有过经典的论述：

    算术方法为什么难？是因为它这个方程的左端是x，于是整个题目思考的劳动量，全部集中到了右端;而列方程的方法，一般情况下，把思考量分担到了左右两端，每端的思考负荷都不大[3].

    孙老师的论断很形象，就是说方程的优越性在于把积聚在一侧的思维量实施了分摊，未知与已知和平相处，而算术法往往是集中于一侧，拉大了思维量，若题目复杂会让学生不得思路而失败.从经济的角度选择方程是上策，可我们的学生刚从小学的算术法走来，对算术法的依赖不亚于婴儿对母亲的依赖，初始的教学常会有阻力的产生.如何帮助学生顺利转轨是教学设计的关键，转得慢就妨碍着进入初中学程的进展.但不管怎样，也得慢慢来，不能操之过急.

    3.3 起始的统摄力

    作为起始课，具有统领性，整体建构方程的学习体系与研究思路，形成结构性思维，让迁移好发生，让后续的方程教学不再在这些非核心的概念外形上纠缠，便于聚焦力量，指向数学核心、指向数学本质.需要说明的是，虽然建构了方程体系，但没有在不同类型方程概念的识别上下功夫，而是把重心放在了理解方程本质、方程思想，树立用方程的符号意识、建模意识上，以此理性思维、理性精神指向核心素养，去落实数学学科的德化育人.

    参考文献

    [1]章建跃.中学数学课改的十个论题[J].中学数学教学参考（中旬），2010（3）：2～4

    [2]项武义.基础代数学[M].北京：人民教育出版社，2011：代序.

    [3]孙维刚.全班55%怎样考上北大、清华[M].长春：北方妇女儿童出版社，1999.9