基于消费者补贴的多产品供应链碳减排和价格决策
俞超 汪传旭 任阳军
摘要：
为研究政府补贴消费者情况下的多产品供应链碳减排优化，考虑由一个制造商和一个零售商构成的多产品两级供应链（制造商处于主导地位），运用Stackelberg博弈理论分别构建制造商和零售商在无政府补贴和政府补贴消费者时的分散决策博弈模型，求解得到最优碳减排率、批发价和零售价。通过比较和分析发现：当政府补贴因子超过一定值时，供应链利润、低碳产品零售价和减排率均优于无政府补贴情形;政府补贴因子和减排难度的变化对制造商、零售商和供应链利润有不同的影响，政府补贴因子的增加和减排难度的降低会促進供应链利润的增加和碳减排率的提高。通过算例分析验证模型的有效性。
关键词：
消费者补贴; 多产品供应链; 碳减排; Stackelberg博弈
中图分类号： F274; F224.32
文献标志码： A
收稿日期： 2017-02-16
修回日期： 2017-09-05
基金项目：
国家自然科学基金（71373157）;江苏理工学院社会科学基金（KYY16507）
作者简介：
俞超（1982—），男，安徽芜湖人，讲师，博士研究生，研究方向为物流与供应链管理， （E-mail）67927240@qq.com;
汪传旭（1967—），男，安徽安庆人，教授，博导，研究方向为物流与供应链管理， （E-mail）cxwang18@aliyun.com
Carbon emission reduction and price decision of
multi-product supply chains based on consumer subsidy
YU Chao1，2， WANG Chuanxu1 ， REN Yangjun1
（
1. School of Economics and Management， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China;
2. School of Business， Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001， Jiangsu， China）
Abstract：
To study carbon emission reduction optimization of multi-product supply chains with government subsidy to consumers， a two-stage supply chain with multi-products consisting of a dominant manufacturer and a retailer is considered. By the Stackelberg game theory， the decentralized decision-making game models of manufacturers and retailers are constructed respectively without government subsidy and with government subsidy to consumers. By solving the models， the optimal carbon emission reduction rate， wholesale price and retail price are obtained. The comparison and analysis show that： when the government subsidy factor is above a certain value， the supply chain profit， the retail prices of low-carbon products and the emission reduction rate are higher than those without government subsidy; the changes of the government subsidy factor and the difficulty of emission reduction have different effects on the profits of the manufacturer， retailer and supply chain， where the increase of the government subsidy factor and the decrease of the difficulty of emission reduction help improve the supply chain profit and the carbon emission reduction rate. A numerical example is given to demonstrate the validity of the models.
Key words：
consumer subsidy; multi-product supply chain; carbon emission reduction; Stackelberg game
0 引 言
随着全球气候变暖及工业排放的增加，碳减排工作的重要性日益凸显。为了实现低碳减排目标，进一步完善财税、价格等政策措施，加快形成低碳绿色的生产、生活方式成为各国政府及研究人员的重要工作内容之一。文献[1-4]针对政府与供应商、再制造商、零售商之间的博弈及供应链协调进行了研究，分析了政府补贴对制造活动的影响及其最优值。这些文献在分析政府的补贴政策时偏重于对制造商和零售商的补贴，较少考虑对消费者的补贴。文献[5-8]针对消费者的偏好对供应链企业、政府补贴、碳税产生的影响进行量化，对供应链系统进行进一步优化。这些文献在分析政府补贴政策中考虑了消费者因素，偏重于单产品，较少考虑多产品。对多产品供应链的研究主要集中在多产品库存补货、定价和产品替代方面，如文献[9-11];结合碳减排的多产品供应链研究较少，文献[12]从碳限额、碳交易和碳足迹方面分析了多产品的最优碳排放量优化问题。文献[13]中的模型假设条件未考虑到单个零售商同时销售两种可相互替代的低碳产品的情况，只考虑政府补贴制造商，未考虑到政府补贴消费者。
本文从政府给予消费者补贴的角度分析多产品供应链碳减排和价格决策。现实中这样的例子也很多，如：知名汽车生产企业往往既生产电动汽车又生产其他普通动力汽车，通过同一零售渠道销售。本文主要研究这类企业的供应链决策，同时考虑无政府补贴和政府补贴消费者两种情况。
1 问题描述及模型假设
1.1 问题描述
考虑由一个制造商和一个零售商构成的供应链系统，制造商在供应链中处于主导地位，既生产低碳产品又生產普通商品，这两种产品通过同一零售商进行销售。政府为了鼓励节能减排，对消费者购买低碳产品进行补贴，但不补贴普通产品。在这种前提下，分别考虑：（1）当无政府补贴时，分散决策下制造商确定的减排率、两种产品的产量和价格，以及零售商确定的价格;（2）当政府补贴消费者时，分散决策下制造商确定的减排率、两种产品的产量和价格，以及零售商确定的价格;（3）对无政府补贴和政府补贴消费者两种情况下的供应链进行比较和分析，研究补贴因子对整个社会福利的影响程度。
1.2 符号说明
制造商M及零售商R都基于各自利润最大化作出决策，在制造商主导情况下，制造商确定低碳、普通产品批发价，零售商确定零售价。模型相关变量及参数见表1。
表1
主要变量及参数说明
1.3 模型假设
假设1 产品的市场需求量与销售价格呈线性关系，需求函数Q=a-bp，a和b为常数且a>0，b>0，其中a表示价格p=0时的市场容量，b表示价格敏感系数。
假设2 对价格不敏感、有低碳意识的消费者只购买低碳产品，故产品市场可细分为两部分：第一部分只购买低碳产品;第二部分只购买普通产品。根据这一关系，可构建低碳产品的需求函数Ql=a-bpl，普通产品的需求函数Qh=bpl-ph [13]。低碳产品、普通产品在功能上接近或完全相同，当两者价格相同时，普通产品的需求量为零，即普通产品退出市场（这不属于本文讨论的范畴，本文讨论的是两种产品同时存在于市场中的情形），故有pl≥ph。
假设3 零售商只能从这一个制造商处采购低碳产品和普通产品，同文献[13]，假设制造商生产产品的边际成本为0，这样既方便分析，又不改变本文逻辑关系。
假设4 根据文献[3，8，13]的研究，政府规定低碳产品减排率最低值为τ0，τ0>0，低碳产品制造商通过减排措施来提高减排率，为此产生额外成本gτ。该成本与减排率正相关，即g′τ>0，且成本增加越来越快，即g″τ>0。按照一般规律，假定减排成本和减排率构成二次方关系，即gτ=12φτ2。
假设5 政府鼓励和推动制造商生产低碳产品，对低碳产品进行补贴，补贴大小与减排率正相关，故假定单位产品补贴r=λτ。
2 模型构建及求解
2.1 无政府补贴的分散式决策（模型N）
在分散式决策下，企业基于各自利润最大化进行决策。制造商和零售商的利润函数分别为
πm=wl（a-bpl）+bwh（pl-ph）-12φτ2
（1）
πr=（pl-wl）（a-bpl）+b（ph-wh）（pl-ph）
（2）
Stackelberg动态博弈顺序如下：首先，制造商确定低碳产品批发价wl，普通产品批发价wh和减排率，在无政府补贴的情况下，由于g′（τ）>0，制造商会将减排率τ制定为τ0;其次，在给定wl，wh的情况下，零售商选择两种产品的零售价pl，ph。采用逆向归纳法求解，结果见命题1。
命题1 无政府补贴的分散式决策均衡结果如下：
（1）零售商确定的两种产品的最优零售价分别为
p*l=5a6b， p*h=2a3b
（2）制造商确定的两种产品的最优批发价和低碳产品减排率分别为
w*l=a2b， w*h=a2b， τ=τ0
由式（1）和（2）可知：无政府补贴情况下两种产品的p*l，p*h，w*l和w*h与潜在市场容量a正相关，与价格敏感系数b负相关（分别将p*l，p*h，w*l和w*h表达式对a和b求一阶偏导数即可证明，具体过程略去）。当市场容量变大时，制造商和零售商都会提价，而当市场对价格很敏感时，制造商和零售商会通过降低价格来获得更多销量。制造商确定的两种产品的最优批发价相同，而低碳产品减排率仅达到政府规定的最低减排率，制造商没有动力提高减排率。
（3）制造商、零售商和供应链的最优利润分别为
π*m=a26b-φτ202， π*r=a212b， π*s=a24b-φτ202
由式（3）可知：在无政府补贴情况下，制造商、零售商和供应链的最优利润π*m，π*r和π*s与a正相关，与b负相关，而制造商和供应链的最优利润π*m和π*s与减排难度系数φ和最低减排率τ0负相关;当市场容量变大时，制造商、零售商和供应链的最优利润都会上升，而当市场对价格很敏感时，制造商、零售商和供应链的最优利润都会下降。减排难度的增加和最低减排率的提高都会影响制造商和供应链的最优利润，因为减排会让制造商成本增加，在无政府补贴的情况下，制造商没有动力提高减排率，会将减排率τ制定为政府要求的最低值τ0。针对这种情况，政府应该采取措施，激励制造商提高减排率，推动低碳产品市场占有率的提高。
命题1证明如下。
证明 在给定（wl，wh，τ0）的情况下，零售商的最优决策为
max
ph，
pl πr
ph，pl|wl，wh，τ0=pl-wla-bpl+
bph-whpl-ph
（3）
其海塞矩阵为
H=-2bb
b-2b
其中
H=3b2>0，且-2b<0，故海塞矩阵负定，目标函数πr为凹函数，式（3）关于变量pl和ph有极大值。分别对pl和ph求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得
pl=（2a-bwh+2bwl）/3b
ph=（a+bwh+bwl）/3b
（4）
把pl，ph和τ0代入式（1），可得
πm=13（-2bwh2+wla-2bwl+
wha+2bwl）-12φτ02
（5）
其海塞矩阵为
H=-4b32b3
2b3-4b3
其中
H=4b23>0，且-4b3<0，故海塞矩阵负定，目标函数πr为凹函数，式（5）关于变量wl和wh有极大值，分别对wl和wh求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得w*l和w*h。将w*l和w*h的值代入式（4），可得p*l和p*h。再将上述结果代入式（1）和（2）中，可得π*m和π*r，π*m+π*r=π*s。证毕。
2.2 政府补贴消费者的分散式决策（模型G）
在分散式决策下，制造商和零售商分别以各自利润最大化进行决策。制造商和零售商的利润函数分别为
πgm=wla-bpl-λτ+bwh（pl-λτ-ph）-12φτ2
（6）
πgr=pl-wla-bpl-λτ+
bph-whpl-λτ-ph
（7）
Stackelberg动态博弈顺序如下：首先，制造商确定低碳产品批发单价wl，普通产品批发单价wh和减排率τ;其次，在给定（wl，wh，τ）的情况下，零售商选择两种产品的零售单价（pl，ph）。采用逆向归纳法求解，结果见命题2。
命题2 政府补贴消费者的分散式决策均衡结果如下：
（1）零售商确定的两种产品的最优零售价分别为
pg*l=a-4+bλ2+15φ6b3φ-λ2
pg*h=a7+2bλ2-24φ12bλ2-3φ
由式（1）可知：在政府补贴消费者情况下，除了与无政府补贴模式相同的要素外，低碳产品的最优零售价pg*l与λ和φ正相关，普通产品的最优零售价pg*h与λ负相关，与φ正相关（分别将pg*l和pg*h表达式对λ和φ求一阶偏导数并作简单分析即可证明，具体过程略）。政府对低碳产品的补贴会降低普通产品的销量，减排难度增加会提高两种产品的价格。
（2）制造商确定的两种产品的最优批发价和低碳产品减排率分别为
wg*l=aλ2-6φ4bλ2-3φ， wg*h=a2b， τ*g=aλ23φ-λ2
由式（2）可知：在政府补贴消费者情况下，除了与无政府补贴模式相同的要素外，低碳产品的最优批发价wg*l与λ正相关，与φ负相关，普通产品的最优批发价wg*h不变，低碳产品减排率τ*g与λ正相关，与φ负相关（分别将wg*l，wg*h和τ*g表达式对φ和λ求一阶偏导数并作简单分析即可证明，具体过程略）。政府对低碳产品的补贴在提高批发价的同时也能够激励企业提高减排率。
（3）制造商、零售商和供应链的最优利润分别为
πg*m=a2λ4+-8+bλ2φ+12φ28bλ2-3φ2
πg*r=
a27-8b+4b2λ4+6-5+2bλ2φ+36φ248bλ2-3φ2
πg*s=
a213-8b+4b2λ4+6-13+3bλ2φ+108φ248bλ2-3φ2
在政府补贴消费者情况下，制造商、零售商和供应链最优利润πg*m，πg*r和πg*s将在下文的敏感度分析及算例中加以验证。
命题2证明如下。
证明 在给定（wl，wh，τ）的情况下，零售商的最优决策如下：
maxph，pl πgr
ph，pl|wl，wh，τ=
pl-wla-bpl-λτ+
bph-whpl-λτ-ph
（8）
其海塞矩陣为
H=-2bb
b-2b
其中
H=3b2>0，且-2b<0，故海塞矩阵负定，目标函数πgr为凹函数，式（8）关于变量pl和ph有极大值。分别对pl和ph求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得
pgl=2a+bλτ-bwh+2bwl3b
pgh=a-bλτ+bwh+bwl3b
（9）
将pgl和pgh代入式（6），可得
πgm=（-3τ2φ-4bw2h+
2a+2bλτwl-4bw2l+2wha-bλτ+2bwl）/6
（10）
其海塞矩阵为
H=-4b32b32bλ3
2b3-4b3-bλ3
2bλ3-bλ3-φ
其中
H=2b26bλ2-18φ/27。当0<λ<3φ/b，即2b26bλ2-18φ/27<0时，二阶顺序主子式为4b2/3>0，且-4b/3<0，故海塞矩阵负定，目标函数πgm为凹函数，式（10）关于变量wl，wh，τ有极大值。分别对wl，wh，τ求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得w
g*l，wg*h和τ*g。将wg*l，wg*h和τ*g代入式（9），可得pg*l和pg*h。将上述结果代入式（6）和（7）中，可得πg*m，πg*r和πg*s。证毕。
根据命题1和2可以得出以下推论：
推论1 当补贴因子超过一定值且价格敏感系数b满足一定条件时，普通产品零售价小于无政府补贴时的零售价，低碳产品零售价大于无政府补贴时的零售价，但扣除补贴后小于无政府补贴时的零售价。
证明 pg*h-p*h=a7+2bλ2-24φ12bλ2-3φ-2a3b=a-1+2bλ212bλ2-3φ，
当0<b<12，且0<3φ<λ<3φb时，或
当12<b<1，且0<λ<3φ<3φb时，或
当b>1，且0<λ<3φb时，有
pg*h-p*h<0
pg*l-p*l=
-a-4+bλ2+15φ6bλ2-3φ-
5a6b=a1+bλ26b3φ-λ2
即当0<b<1，且0<λ<3φ<3φb时，有
pg*l-p*l>0
pg*l-λτ*g-p*l=-a-4+bλ2+15φ6bλ2-3φ-
aλ223φ-λ2-5a6b=a-1+2bλ26bλ2-3φ
当0<b<12，且0<3φ<λ<3φb时，或
当12<b<1，且0<λ<3φ<3φb时，或
当b>1，且0<λ<3φb时，pg*l-λτ*g-p*l<0。证毕。
推论1表明，当价格敏感系数b满足一定条件时，在政府补贴的激励下，由于竞争关系的存在，普通产品的价格进一步降低，而低碳产品零售价由于消费者收入的间接增加（政府补贴消费者）而提高，消费者购买低碳产品的实际支出（低碳产品零售价减去政府补贴）有所下降，消费者的福利有所提升。
推论2 当补贴因子超过一定值且价格敏感系数b满足一定条件时，如果政府规定的低碳产品最低减排率较小，减排率极有可能大于无政府补贴时的减排率。
证明 τ*g-τ*=aλ23φ-λ2-τ0=aλ23φ-λ2-
τ0，由于τ0是政府规定的低碳产品最低减排率，τ0>0，但其值相对很小，故当0<b<1且0<λ<3φ<3φb时，τ*g-τ*>0的可能性很大。
推论2表明，当价格敏感系数b满足一定条件时，在政府补贴的激励下，制造商有动力加大对低碳减排技术的投入，从而会提高减排率，实现比政府要求更高的减排率，对整个社会、环境更为有利。
推论3 当补贴因子超过一定值且价格敏感系数b满足一定条件时，制造商的利润大于无政府补贴时的利润。
证明 πg*m-π*m=a2λ4+b-8λ2φ+12φ28bλ2-3φ2-
a26b+φτ02=a23bλ2φ-λ424bλ2-3φ2+φτ02，故当0<b<1且0<λ<3bφ<3φb时，或當b>1且0<λ<3φb<3bφ时，πg*m-π*m>0。证毕。
推论4 当补贴因子超过一定值及价格敏感系数b满足一定条件时，零售商的利润大于无政府补贴时的利润。
证明 πg*r-π*r=a27-8b+4b2λ4+62b-5λ2φ+36φ248bλ2-3φ2-a212b=a2-1+2bλ2-3+2bλ2+6φ48bλ2-3φ2，
当b>32时或当12<b<32且0<λ<6φ3-2b时，或当0<b<12且6φ3-2b<λ<3φb时，πg*r-π*r>0。证毕。
推论3和4表明，当价格敏感系数b满足一定条件时，在政府补贴的激励下，由于低碳产品销量增加、零售价提高带来的利润增加高于普通产品销量减少、零售价下降导致的利润损失，所以无论是制造商、零售商，还是整个供应链的利润均得到提高。
综上所述，当12<b<1且0<λ<3bφ<3φb时，上述所有推论均成立，而在其他区间仅部分结论成立。如果政府或相关部门在短期内更加重视某些目标，可以有针对性地对某些参数进行调控，从而实现部分目标。
制造商可以根据政府的补贴政策和市场的变化来确定最优的批发价（低碳产品和普通产品）和减排率。一方面，可以实现两种可替代产品的协调，普通产品针对对价格敏感、对低碳不敏感的消费者市场，低碳产品针对对价格不敏感、对低碳敏感的消费者市场，达到对不同消费市场的全覆盖，促进企业利润的增加;另一方面，可以实现利润和减排成本支出的平衡，兼顾市场效应和社会效应，更有利于企业的长远发展。对零售商而言，虽然政府不直接补贴零售商而是补贴消费者，但是间接地提高了消费者收入，增强了市场消费能力，从而带动了制造商批发价变化。在这种情况下，零售商的最优零售价决策可以促进零售商收入和利润的增加。对供应链而言，制造商和零售商的收入和利润的增加必然导致供应链收入和利润的增加，进一步增加供应链的竞争力。除了上述卖方（制造商、零售商、供应链）的利润增加以外，买方（消费者）的福利也得以改善（能够以更低的价格购买更多的低碳产品和普通产品）。对第三方（社会、环境）而言，由于低碳减排
率的提高，也提高了社会福利。
3 算例分析
3.1 模型N与模型G的比较
为检验模型的有效性，在满足上述推论的条件下，通过以下算例进行分析。取a=10，b=0.6，λ=0.6，φ=0.5，用Mathematics计算，结果见表2和3。
表2
无政府补贴和政府补贴消费者情况下的决策结果1
表3
无政府补贴和政府补贴消费者情况下的决策结果2
由表2和3可知：虽然政府给予消费者补贴后低碳产品的批发价、零售价比补贴前有所提高，但消费者购买
低碳产品的实际价格p*l-λτ比补贴前反而更低，低碳产品的销售量也更高;政府给予消费者补贴后制造商、零售商和供应链的利润都得到了增加，且有效降低了排放，保护了环境。这些结果与本文推论1～4完全一致。
3.2 分散式决策中补贴因子λ对利润的影响
由图1可知：补贴
因子λ与制造商的利润πg*m，零售商的利润πg*r和整个供应链的利润πg*s呈正相关关系;随着λ的增加，πg*m，πg*r和πg*s均增加。
a）
λ对πg*m的影响
b）
λ对πg*r的影响
c） λ对πg*s的影响
图1
λ对πg*m，πg*r和πg*s的影响
3.3 分散式决策中减排难度系数φ对利润的影响
由图2可知：减排难度系数φ与制造商的利润
πg*m、零售商的利润πg*r和整个供应链的利润
πg*s呈负相关关系;随着φ的增加，πg*m，πg*r和πg*s均下降。
a）
φ对πg*m的影响
b）
φ对πg*r的影响
c） φ对πg*s的影响
图2
φ对πg*m，πg*r和πg*s的影响
4 结 论
基于政府对消费者实施补贴情况的多产品供应链碳减排优化，通过构建无政府补贴和政府补贴消费者两种情况下的分散决策博弈模型，分别得到相关最优决策。通过比较和分析发现：当补贴因子超过一定值时，供应链系统利润、扣除补贴后的零售价、减排率等均优于无政府补贴情形。通过分析补贴因子、减排难度系数对分散式决策中制造商、零售商和供应链利润的影响得出：政府的低碳补贴政策能提高制造商利润、零售商利润和消费者福利并促进环境保护，为政府的低碳补贴政策的制定和出台提供参考;制造商和零售商能在政府低碳补贴政策下更好地开展企业经营活动，制造商通过低碳技术创新等手段降低减排难度，进而减少减排成本和碳排放量，更低的碳排放还可以使他们进一步享受政府更多的补贴或其他政策优惠等;可以协调两种可替代产品的批发价和零售价，促进企业利润的增加，提高整个供应链的竞争力。本文尚存在进一步研究的空间，可以考虑供应链成员间的成本分担机制、激励机制、竞争机制等，也可以考虑政府的其他政策如征税、补贴加征税、碳排放限额等对供应链碳减排优化的影响。
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摘要：
为研究政府补贴消费者情况下的多产品供应链碳减排优化，考虑由一个制造商和一个零售商构成的多产品两级供应链（制造商处于主导地位），运用Stackelberg博弈理论分别构建制造商和零售商在无政府补贴和政府补贴消费者时的分散决策博弈模型，求解得到最优碳减排率、批发价和零售价。通过比较和分析发现：当政府补贴因子超过一定值时，供应链利润、低碳产品零售价和减排率均优于无政府补贴情形;政府补贴因子和减排难度的变化对制造商、零售商和供应链利润有不同的影响，政府补贴因子的增加和减排难度的降低会促進供应链利润的增加和碳减排率的提高。通过算例分析验证模型的有效性。
关键词：
消费者补贴; 多产品供应链; 碳减排; Stackelberg博弈
中图分类号： F274; F224.32
文献标志码： A
收稿日期： 2017-02-16
修回日期： 2017-09-05
基金项目：
国家自然科学基金（71373157）;江苏理工学院社会科学基金（KYY16507）
作者简介：
俞超（1982—），男，安徽芜湖人，讲师，博士研究生，研究方向为物流与供应链管理， （E-mail）67927240@qq.com;
汪传旭（1967—），男，安徽安庆人，教授，博导，研究方向为物流与供应链管理， （E-mail）cxwang18@aliyun.com
Carbon emission reduction and price decision of
multi-product supply chains based on consumer subsidy
YU Chao1，2， WANG Chuanxu1 ， REN Yangjun1
（
1. School of Economics and Management， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China;
2. School of Business， Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001， Jiangsu， China）
Abstract：
To study carbon emission reduction optimization of multi-product supply chains with government subsidy to consumers， a two-stage supply chain with multi-products consisting of a dominant manufacturer and a retailer is considered. By the Stackelberg game theory， the decentralized decision-making game models of manufacturers and retailers are constructed respectively without government subsidy and with government subsidy to consumers. By solving the models， the optimal carbon emission reduction rate， wholesale price and retail price are obtained. The comparison and analysis show that： when the government subsidy factor is above a certain value， the supply chain profit， the retail prices of low-carbon products and the emission reduction rate are higher than those without government subsidy; the changes of the government subsidy factor and the difficulty of emission reduction have different effects on the profits of the manufacturer， retailer and supply chain， where the increase of the government subsidy factor and the decrease of the difficulty of emission reduction help improve the supply chain profit and the carbon emission reduction rate. A numerical example is given to demonstrate the validity of the models.
Key words：
consumer subsidy; multi-product supply chain; carbon emission reduction; Stackelberg game
0 引 言
随着全球气候变暖及工业排放的增加，碳减排工作的重要性日益凸显。为了实现低碳减排目标，进一步完善财税、价格等政策措施，加快形成低碳绿色的生产、生活方式成为各国政府及研究人员的重要工作内容之一。文献[1-4]针对政府与供应商、再制造商、零售商之间的博弈及供应链协调进行了研究，分析了政府补贴对制造活动的影响及其最优值。这些文献在分析政府的补贴政策时偏重于对制造商和零售商的补贴，较少考虑对消费者的补贴。文献[5-8]针对消费者的偏好对供应链企业、政府补贴、碳税产生的影响进行量化，对供应链系统进行进一步优化。这些文献在分析政府补贴政策中考虑了消费者因素，偏重于单产品，较少考虑多产品。对多产品供应链的研究主要集中在多产品库存补货、定价和产品替代方面，如文献[9-11];结合碳减排的多产品供应链研究较少，文献[12]从碳限额、碳交易和碳足迹方面分析了多产品的最优碳排放量优化问题。文献[13]中的模型假设条件未考虑到单个零售商同时销售两种可相互替代的低碳产品的情况，只考虑政府补贴制造商，未考虑到政府补贴消费者。
本文从政府给予消费者补贴的角度分析多产品供应链碳减排和价格决策。现实中这样的例子也很多，如：知名汽车生产企业往往既生产电动汽车又生产其他普通动力汽车，通过同一零售渠道销售。本文主要研究这类企业的供应链决策，同时考虑无政府补贴和政府补贴消费者两种情况。
1 问题描述及模型假设
1.1 问题描述
考虑由一个制造商和一个零售商构成的供应链系统，制造商在供应链中处于主导地位，既生产低碳产品又生產普通商品，这两种产品通过同一零售商进行销售。政府为了鼓励节能减排，对消费者购买低碳产品进行补贴，但不补贴普通产品。在这种前提下，分别考虑：（1）当无政府补贴时，分散决策下制造商确定的减排率、两种产品的产量和价格，以及零售商确定的价格;（2）当政府补贴消费者时，分散决策下制造商确定的减排率、两种产品的产量和价格，以及零售商确定的价格;（3）对无政府补贴和政府补贴消费者两种情况下的供应链进行比较和分析，研究补贴因子对整个社会福利的影响程度。
1.2 符号说明
制造商M及零售商R都基于各自利润最大化作出决策，在制造商主导情况下，制造商确定低碳、普通产品批发价，零售商确定零售价。模型相关变量及参数见表1。
表1
主要变量及参数说明
1.3 模型假设
假设1 产品的市场需求量与销售价格呈线性关系，需求函数Q=a-bp，a和b为常数且a>0，b>0，其中a表示价格p=0时的市场容量，b表示价格敏感系数。
假设2 对价格不敏感、有低碳意识的消费者只购买低碳产品，故产品市场可细分为两部分：第一部分只购买低碳产品;第二部分只购买普通产品。根据这一关系，可构建低碳产品的需求函数Ql=a-bpl，普通产品的需求函数Qh=bpl-ph [13]。低碳产品、普通产品在功能上接近或完全相同，当两者价格相同时，普通产品的需求量为零，即普通产品退出市场（这不属于本文讨论的范畴，本文讨论的是两种产品同时存在于市场中的情形），故有pl≥ph。
假设3 零售商只能从这一个制造商处采购低碳产品和普通产品，同文献[13]，假设制造商生产产品的边际成本为0，这样既方便分析，又不改变本文逻辑关系。
假设4 根据文献[3，8，13]的研究，政府规定低碳产品减排率最低值为τ0，τ0>0，低碳产品制造商通过减排措施来提高减排率，为此产生额外成本gτ。该成本与减排率正相关，即g′τ>0，且成本增加越来越快，即g″τ>0。按照一般规律，假定减排成本和减排率构成二次方关系，即gτ=12φτ2。
假设5 政府鼓励和推动制造商生产低碳产品，对低碳产品进行补贴，补贴大小与减排率正相关，故假定单位产品补贴r=λτ。
2 模型构建及求解
2.1 无政府补贴的分散式决策（模型N）
在分散式决策下，企业基于各自利润最大化进行决策。制造商和零售商的利润函数分别为
πm=wl（a-bpl）+bwh（pl-ph）-12φτ2
（1）
πr=（pl-wl）（a-bpl）+b（ph-wh）（pl-ph）
（2）
Stackelberg动态博弈顺序如下：首先，制造商确定低碳产品批发价wl，普通产品批发价wh和减排率，在无政府补贴的情况下，由于g′（τ）>0，制造商会将减排率τ制定为τ0;其次，在给定wl，wh的情况下，零售商选择两种产品的零售价pl，ph。采用逆向归纳法求解，结果见命题1。
命题1 无政府补贴的分散式决策均衡结果如下：
（1）零售商确定的两种产品的最优零售价分别为
p*l=5a6b， p*h=2a3b
（2）制造商确定的两种产品的最优批发价和低碳产品减排率分别为
w*l=a2b， w*h=a2b， τ=τ0
由式（1）和（2）可知：无政府补贴情况下两种产品的p*l，p*h，w*l和w*h与潜在市场容量a正相关，与价格敏感系数b负相关（分别将p*l，p*h，w*l和w*h表达式对a和b求一阶偏导数即可证明，具体过程略去）。当市场容量变大时，制造商和零售商都会提价，而当市场对价格很敏感时，制造商和零售商会通过降低价格来获得更多销量。制造商确定的两种产品的最优批发价相同，而低碳产品减排率仅达到政府规定的最低减排率，制造商没有动力提高减排率。
（3）制造商、零售商和供应链的最优利润分别为
π*m=a26b-φτ202， π*r=a212b， π*s=a24b-φτ202
由式（3）可知：在无政府补贴情况下，制造商、零售商和供应链的最优利润π*m，π*r和π*s与a正相关，与b负相关，而制造商和供应链的最优利润π*m和π*s与减排难度系数φ和最低减排率τ0负相关;当市场容量变大时，制造商、零售商和供应链的最优利润都会上升，而当市场对价格很敏感时，制造商、零售商和供应链的最优利润都会下降。减排难度的增加和最低减排率的提高都会影响制造商和供应链的最优利润，因为减排会让制造商成本增加，在无政府补贴的情况下，制造商没有动力提高减排率，会将减排率τ制定为政府要求的最低值τ0。针对这种情况，政府应该采取措施，激励制造商提高减排率，推动低碳产品市场占有率的提高。
命题1证明如下。
证明 在给定（wl，wh，τ0）的情况下，零售商的最优决策为
max
ph，
pl πr
ph，pl|wl，wh，τ0=pl-wla-bpl+
bph-whpl-ph
（3）
其海塞矩阵为
H=-2bb
b-2b
其中
H=3b2>0，且-2b<0，故海塞矩阵负定，目标函数πr为凹函数，式（3）关于变量pl和ph有极大值。分别对pl和ph求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得
pl=（2a-bwh+2bwl）/3b
ph=（a+bwh+bwl）/3b
（4）
把pl，ph和τ0代入式（1），可得
πm=13（-2bwh2+wla-2bwl+
wha+2bwl）-12φτ02
（5）
其海塞矩阵为
H=-4b32b3
2b3-4b3
其中
H=4b23>0，且-4b3<0，故海塞矩阵负定，目标函数πr为凹函数，式（5）关于变量wl和wh有极大值，分别对wl和wh求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得w*l和w*h。将w*l和w*h的值代入式（4），可得p*l和p*h。再将上述结果代入式（1）和（2）中，可得π*m和π*r，π*m+π*r=π*s。证毕。
2.2 政府补贴消费者的分散式决策（模型G）
在分散式决策下，制造商和零售商分别以各自利润最大化进行决策。制造商和零售商的利润函数分别为
πgm=wla-bpl-λτ+bwh（pl-λτ-ph）-12φτ2
（6）
πgr=pl-wla-bpl-λτ+
bph-whpl-λτ-ph
（7）
Stackelberg动态博弈顺序如下：首先，制造商确定低碳产品批发单价wl，普通产品批发单价wh和减排率τ;其次，在给定（wl，wh，τ）的情况下，零售商选择两种产品的零售单价（pl，ph）。采用逆向归纳法求解，结果见命题2。
命题2 政府补贴消费者的分散式决策均衡结果如下：
（1）零售商确定的两种产品的最优零售价分别为
pg*l=a-4+bλ2+15φ6b3φ-λ2
pg*h=a7+2bλ2-24φ12bλ2-3φ
由式（1）可知：在政府补贴消费者情况下，除了与无政府补贴模式相同的要素外，低碳产品的最优零售价pg*l与λ和φ正相关，普通产品的最优零售价pg*h与λ负相关，与φ正相关（分别将pg*l和pg*h表达式对λ和φ求一阶偏导数并作简单分析即可证明，具体过程略）。政府对低碳产品的补贴会降低普通产品的销量，减排难度增加会提高两种产品的价格。
（2）制造商确定的两种产品的最优批发价和低碳产品减排率分别为
wg*l=aλ2-6φ4bλ2-3φ， wg*h=a2b， τ*g=aλ23φ-λ2
由式（2）可知：在政府补贴消费者情况下，除了与无政府补贴模式相同的要素外，低碳产品的最优批发价wg*l与λ正相关，与φ负相关，普通产品的最优批发价wg*h不变，低碳产品减排率τ*g与λ正相关，与φ负相关（分别将wg*l，wg*h和τ*g表达式对φ和λ求一阶偏导数并作简单分析即可证明，具体过程略）。政府对低碳产品的补贴在提高批发价的同时也能够激励企业提高减排率。
（3）制造商、零售商和供应链的最优利润分别为
πg*m=a2λ4+-8+bλ2φ+12φ28bλ2-3φ2
πg*r=
a27-8b+4b2λ4+6-5+2bλ2φ+36φ248bλ2-3φ2
πg*s=
a213-8b+4b2λ4+6-13+3bλ2φ+108φ248bλ2-3φ2
在政府补贴消费者情况下，制造商、零售商和供应链最优利润πg*m，πg*r和πg*s将在下文的敏感度分析及算例中加以验证。
命题2证明如下。
证明 在给定（wl，wh，τ）的情况下，零售商的最优决策如下：
maxph，pl πgr
ph，pl|wl，wh，τ=
pl-wla-bpl-λτ+
bph-whpl-λτ-ph
（8）
其海塞矩陣为
H=-2bb
b-2b
其中
H=3b2>0，且-2b<0，故海塞矩阵负定，目标函数πgr为凹函数，式（8）关于变量pl和ph有极大值。分别对pl和ph求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得
pgl=2a+bλτ-bwh+2bwl3b
pgh=a-bλτ+bwh+bwl3b
（9）
将pgl和pgh代入式（6），可得
πgm=（-3τ2φ-4bw2h+
2a+2bλτwl-4bw2l+2wha-bλτ+2bwl）/6
（10）
其海塞矩阵为
H=-4b32b32bλ3
2b3-4b3-bλ3
2bλ3-bλ3-φ
其中
H=2b26bλ2-18φ/27。当0<λ<3φ/b，即2b26bλ2-18φ/27<0时，二阶顺序主子式为4b2/3>0，且-4b/3<0，故海塞矩阵负定，目标函数πgm为凹函数，式（10）关于变量wl，wh，τ有极大值。分别对wl，wh，τ求偏导，令偏导数为零，求解方程组，可得w
g*l，wg*h和τ*g。将wg*l，wg*h和τ*g代入式（9），可得pg*l和pg*h。将上述结果代入式（6）和（7）中，可得πg*m，πg*r和πg*s。证毕。
根据命题1和2可以得出以下推论：
推论1 当补贴因子超过一定值且价格敏感系数b满足一定条件时，普通产品零售价小于无政府补贴时的零售价，低碳产品零售价大于无政府补贴时的零售价，但扣除补贴后小于无政府补贴时的零售价。
证明 pg*h-p*h=a7+2bλ2-24φ12bλ2-3φ-2a3b=a-1+2bλ212bλ2-3φ，
当0<b<12，且0<3φ<λ<3φb时，或
当12<b<1，且0<λ<3φ<3φb时，或
当b>1，且0<λ<3φb时，有
pg*h-p*h<0
pg*l-p*l=
-a-4+bλ2+15φ6bλ2-3φ-
5a6b=a1+bλ26b3φ-λ2
即当0<b<1，且0<λ<3φ<3φb时，有
pg*l-p*l>0
pg*l-λτ*g-p*l=-a-4+bλ2+15φ6bλ2-3φ-
aλ223φ-λ2-5a6b=a-1+2bλ26bλ2-3φ
当0<b<12，且0<3φ<λ<3φb时，或
当12<b<1，且0<λ<3φ<3φb时，或
当b>1，且0<λ<3φb时，pg*l-λτ*g-p*l<0。证毕。
推论1表明，当价格敏感系数b满足一定条件时，在政府补贴的激励下，由于竞争关系的存在，普通产品的价格进一步降低，而低碳产品零售价由于消费者收入的间接增加（政府补贴消费者）而提高，消费者购买低碳产品的实际支出（低碳产品零售价减去政府补贴）有所下降，消费者的福利有所提升。
推论2 当补贴因子超过一定值且价格敏感系数b满足一定条件时，如果政府规定的低碳产品最低减排率较小，减排率极有可能大于无政府补贴时的减排率。
证明 τ*g-τ*=aλ23φ-λ2-τ0=aλ23φ-λ2-
τ0，由于τ0是政府规定的低碳产品最低减排率，τ0>0，但其值相对很小，故当0<b<1且0<λ<3φ<3φb时，τ*g-τ*>0的可能性很大。
推论2表明，当价格敏感系数b满足一定条件时，在政府补贴的激励下，制造商有动力加大对低碳减排技术的投入，从而会提高减排率，实现比政府要求更高的减排率，对整个社会、环境更为有利。
推论3 当补贴因子超过一定值且价格敏感系数b满足一定条件时，制造商的利润大于无政府补贴时的利润。
证明 πg*m-π*m=a2λ4+b-8λ2φ+12φ28bλ2-3φ2-
a26b+φτ02=a23bλ2φ-λ424bλ2-3φ2+φτ02，故当0<b<1且0<λ<3bφ<3φb时，或當b>1且0<λ<3φb<3bφ时，πg*m-π*m>0。证毕。
推论4 当补贴因子超过一定值及价格敏感系数b满足一定条件时，零售商的利润大于无政府补贴时的利润。
证明 πg*r-π*r=a27-8b+4b2λ4+62b-5λ2φ+36φ248bλ2-3φ2-a212b=a2-1+2bλ2-3+2bλ2+6φ48bλ2-3φ2，
当b>32时或当12<b<32且0<λ<6φ3-2b时，或当0<b<12且6φ3-2b<λ<3φb时，πg*r-π*r>0。证毕。
推论3和4表明，当价格敏感系数b满足一定条件时，在政府补贴的激励下，由于低碳产品销量增加、零售价提高带来的利润增加高于普通产品销量减少、零售价下降导致的利润损失，所以无论是制造商、零售商，还是整个供应链的利润均得到提高。
综上所述，当12<b<1且0<λ<3bφ<3φb时，上述所有推论均成立，而在其他区间仅部分结论成立。如果政府或相关部门在短期内更加重视某些目标，可以有针对性地对某些参数进行调控，从而实现部分目标。
制造商可以根据政府的补贴政策和市场的变化来确定最优的批发价（低碳产品和普通产品）和减排率。一方面，可以实现两种可替代产品的协调，普通产品针对对价格敏感、对低碳不敏感的消费者市场，低碳产品针对对价格不敏感、对低碳敏感的消费者市场，达到对不同消费市场的全覆盖，促进企业利润的增加;另一方面，可以实现利润和减排成本支出的平衡，兼顾市场效应和社会效应，更有利于企业的长远发展。对零售商而言，虽然政府不直接补贴零售商而是补贴消费者，但是间接地提高了消费者收入，增强了市场消费能力，从而带动了制造商批发价变化。在这种情况下，零售商的最优零售价决策可以促进零售商收入和利润的增加。对供应链而言，制造商和零售商的收入和利润的增加必然导致供应链收入和利润的增加，进一步增加供应链的竞争力。除了上述卖方（制造商、零售商、供应链）的利润增加以外，买方（消费者）的福利也得以改善（能够以更低的价格购买更多的低碳产品和普通产品）。对第三方（社会、环境）而言，由于低碳减排
率的提高，也提高了社会福利。
3 算例分析
3.1 模型N与模型G的比较
为检验模型的有效性，在满足上述推论的条件下，通过以下算例进行分析。取a=10，b=0.6，λ=0.6，φ=0.5，用Mathematics计算，结果见表2和3。
表2
无政府补贴和政府补贴消费者情况下的决策结果1
表3
无政府补贴和政府补贴消费者情况下的决策结果2
由表2和3可知：虽然政府给予消费者补贴后低碳产品的批发价、零售价比补贴前有所提高，但消费者购买
低碳产品的实际价格p*l-λτ比补贴前反而更低，低碳产品的销售量也更高;政府给予消费者补贴后制造商、零售商和供应链的利润都得到了增加，且有效降低了排放，保护了环境。这些结果与本文推论1～4完全一致。
3.2 分散式决策中补贴因子λ对利润的影响
由图1可知：补贴
因子λ与制造商的利润πg*m，零售商的利润πg*r和整个供应链的利润πg*s呈正相关关系;随着λ的增加，πg*m，πg*r和πg*s均增加。
a）
λ对πg*m的影响
b）
λ对πg*r的影响
c） λ对πg*s的影响
图1
λ对πg*m，πg*r和πg*s的影响
3.3 分散式决策中减排难度系数φ对利润的影响
由图2可知：减排难度系数φ与制造商的利润
πg*m、零售商的利润πg*r和整个供应链的利润
πg*s呈负相关关系;随着φ的增加，πg*m，πg*r和πg*s均下降。
a）
φ对πg*m的影响
b）
φ对πg*r的影响
c） φ对πg*s的影响
图2
φ对πg*m，πg*r和πg*s的影响
4 结 论
基于政府对消费者实施补贴情况的多产品供应链碳减排优化，通过构建无政府补贴和政府补贴消费者两种情况下的分散决策博弈模型，分别得到相关最优决策。通过比较和分析发现：当补贴因子超过一定值时，供应链系统利润、扣除补贴后的零售价、减排率等均优于无政府补贴情形。通过分析补贴因子、减排难度系数对分散式决策中制造商、零售商和供应链利润的影响得出：政府的低碳补贴政策能提高制造商利润、零售商利润和消费者福利并促进环境保护，为政府的低碳补贴政策的制定和出台提供参考;制造商和零售商能在政府低碳补贴政策下更好地开展企业经营活动，制造商通过低碳技术创新等手段降低减排难度，进而减少减排成本和碳排放量，更低的碳排放还可以使他们进一步享受政府更多的补贴或其他政策优惠等;可以协调两种可替代产品的批发价和零售价，促进企业利润的增加，提高整个供应链的竞争力。本文尚存在进一步研究的空间，可以考虑供应链成员间的成本分担机制、激励机制、竞争机制等，也可以考虑政府的其他政策如征税、补贴加征税、碳排放限额等对供应链碳减排优化的影响。
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