基于锁相环实现信号相频突变的跟踪
孙永磊+杨昕欣
摘 要： 锁相环是一种相位误差自动控制系统，在通信领域有着广泛的应用。通过设计锁相环路，实现对输入信号的频率和相位突变时的跟踪。首先介绍锁相环路的基本原理，然后对一阶和二阶锁相环的动态跟踪特性進行分析，最后采用仿真软件Multisim 13.0设计仿真电路，针对一阶、二阶PLL的输入信号频率和相位突变时的情况进行仿真研究，实际仿真结果与理论分析相吻合。仿真结果表明，设计的锁相环路实现了对输入信号频率和相位突变后的跟踪。
关键词： 锁相环； 频率突变； 相位突变； 信号跟踪； 理论分析； Multisim
中图分类号： TN702?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）01?0051?06
Abstract： The phase?locked loop （PLL） is designed to realize signal tracking when the phase and frequency mutation of input signal occurs. The basic principle of the phase?locked loop is introduced in this paper. The dynamic tracking characteristics of the first?order and second?order PLLs are analyzed. The simulation software Multisim 13.0 is used to design the simulation circuit. The condition that the phase and frequency mutation of the input signal of the first?order and second?order PLLs occurs is simulated. The simulation result is identical with the theoretical analysis result. The simulation results show that the designed phase?locked loop can realize tracking when the input signal′s frequency and phase mutation occurs.
Keywords： phase?locked loop； frequency mutation； phase mutation； signal tracking； theoretical analysis； Multisim
0 引 言
锁相环（Phase Locked Loop）简称为PLL，是一种相位误差控制系统[1]。它能实现频率合成、调制解调、载波回复、信号检测等功能，在电子领域有着广泛的应用，目前锁相环在数字和模拟通信系统中成为不可缺少的部件。随着电子技术的快速发展，锁相环技术在信号测量、信号频率与相位的自动跟踪、雷达中的多普勒信号提取等领域发挥了重要的作用[2]，信号的频率与相位跟踪已成为科研与国防中的重要组成部分[3]。
1 锁相环的结构与工作原理
锁相环是一种相位反馈控制电路，它的基本原理是通过比较输出信号与输入信号之间的相位差，然后产生控制电压来调整压控振荡器的频率，实现输出信号与输入信号频率同步。锁相环由三个基本部件组成：鉴相器（PD）、环路滤波器（LF）和压控振荡器（VCO），如图1所示。
鉴相器（PD）的输出信号[vd]是输入信号[vi]和压控振荡器输出信号[vo]之间相位差的函数，常用的鉴相器有以下几类：数字鉴相器、抽样鉴相器、模拟相乘器鉴相器和鉴频鉴相器等[4?6]，鉴相器一般由乘法器加低通滤波器构成，如图2所示。
设锁相环的输入信号和压控振荡器的输出信号分别为[vi]和[vo]（单位：V）：
[vi（t）=Vimsin[ωi0t+θi（t）]=Vimsin[?i（t）]vo（t）=Vomcos[ωo0t+θo（t）]=Vomcos[?o（t）]] （1）
输入信号与输出信号经过乘法器得到：
[Kvi（t）vo（t）=12KVimVomsin[2ωo0t+θ1（t）+θ2（t）]+ K2VimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]] （2）
式中：[θ1（t）=（ωi0-ωo0）+θi（t）=Δω0t+θi（t）；θ2（t）=θo（t）]。
再经过低通滤波器后滤出[2ωo0]成分，得到误差电压：
[vd（t）=12KVimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]=12KVimVomsin[?i（t）-?o（t）]] （3）
[vd（t）=f[?i（t）-?o（t）]] （4）
式中：[?i（t）]为输入信号[vi（t）]的瞬时全相位；[?o（t）]为压控振荡器输出信号[vo（t）]的瞬时全相位。
环路滤波器（LF）是一个低通滤波器，滤出误差信号[vd]中的高频分量，改善锁相环路的跟踪性能，同时保证环路的稳定性。锁相环中的LF有两个功能：第一，滤除误差信号中的高频分量；第二，为锁相环路提供一个短期记忆，当系统因为瞬时噪声而失锁时，可确保锁相环路能够迅速重新捕获信号[7?8]，在锁相环中通常采用一阶滤波器电路。当环路滤波器采用直通电路时，该锁相环为一阶PLL；当采用一阶滤波器电路时，该锁相环为二阶PLL。各种环路滤波器如图3所示。
压控振荡器（VCO）是根据电压产生本地振荡频率，振荡的频率受[vp]的控制，从而产生频率偏移，实现对输入信号频率的跟踪。压控振荡器的一般特性如图4所示。它的振荡频率与控制电压的关系可表示为：[ωo（t）=ωo0+g[vp（t）]，] 在某一特定的控制电压范围内，压控振荡器的振荡频率变化与控制电压成线性关系，即：[ωo（t）=ωo0+Kωvp（t）]。其中，[Kω]是该曲线的斜率，也称作为压控振荡器的调制灵敏度，单位为[rad/（S?V）]。
在锁相环路中，压控振荡器的输出瞬时相位对鉴相起作用，而不是瞬时角频率，VCO在锁相环中起到了积分作用，因此VCO也称为环路中的固有积分环节。
[φo（t）=ωo0t+Kω0tvp（λ）dλ=ωo0t+θ2（t）] （5）
压控振荡器对应的时域与频域模型如图5所示，其中[1p]为积分算子。
由此可得到PLL环路的相位数学模型，如图6所示。
2 锁相环的动态跟踪特性分析
由上述分析可知，锁相环中的鉴相器实际上是一个比例放大环节，而压控振荡器为积分环节，[HF（p）]为环路滤波器LF的传递函数，从相位数学模型可得到PLL环路的非线性微分方程：
[θ2（t）=Kdsin[θ1（t）-θ2（t）]?HF（p）?Kω?1p] （6）
[θ1（t）-θe（t）=Kdsinθe（t）?HF（p）?Kω?1p] （7）
[θe（t）+KdKωHF（p）psinθe（t）-θ1（t）=0] （8）
式中：[Kd=12KVimVom]为鉴相器的最大输出电压；[Kp=Kd?Kω]为环路增益，单位为[rad/s]。
定义三个PLL的传递函数。
误差传递函数：
[He（s）=θe（s）θ1（s）=ss+KpHF（s）] （9）
式（9）表示输入信号与压控振荡器输出信号之间的误差相位[θe（s）]与输入信号相位[θ1（s）]的关系，称为环路的误差传递函数。
闭环传递函数：
[Hc（s）=θ2（s）θ1（s）=KpHF（s）s+KpHF（s）] （10）
式（10）表示压控振荡器的输出信号相位[θ2（s）]与输入信号相位[θ1（s）]之间的关系，称为锁相环路的闭环传递函数。
开环传递函数：
[Ho（s）=θ2（s）θe（s）=KpHF（s）s] （11）
已经锁定后的环路，当输入信号的相位或频率发生某种突变时，环路将使压控振荡器的相位和频率能够跟踪输入信号的变化。在输入信号发生变化后的一段时间里，锁相环路有一瞬变的过程。这个瞬变的过程状况与PLL的组成有关，也与输入信号的相位或相位的变化规律有关[9]。这就是求出[θe（t），][θ2（t）]的過程。当瞬变过程结束后，锁相环路进入稳定状态。这时，压控振荡器的输出信号与输入信号有相同的频率和某一固定的相差，这个固定的相差称作为稳态相差。
2.1 一阶PLL动态跟踪特性
一阶PLL中环路滤波器为直通电路，将[HF（s）=1]代入到上述误差传递函数和闭环传递函数中，得到：
[Hc（s）=Kps+Kp，He（s）=ss+Kp]
误差相位的瞬态响应为：
[θes=Hesθ1sθet=L-1θes] （12）
稳态相差：
[θe（∞）=limt→∞θet=lims→0sθes] （13）
2.1.1 输入信号相位突变
输入信号相位阶跃，即：
[θ1t=Δθ，t>00，t<0，θ1（s）=Δθs]
那么误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[θes=ss+KpΔθs=Δθs+Kp] （14）
[θet=L-1Δθs+Kp=Δθ e-Kpt] （15）
[θe（∞）=lims→0sθes=0] （16）
一阶PLL跟踪信号相位突变特性曲线如图7所示。
2.1.2 输入信号频率突变
输入信号频率阶跃，即：
[ωit=ωo0+Δω，t>0ωo0，t<0] [θ1t=Δωt，t>00，t<0，θ1s=Δωs2]
那么误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[θes=ss+KpΔωs2=Δωss+Kp] （17）
[θet=L-1θes=ΔωKp1-e-Kpt] （18）
[θe（∞）=ΔωKp] （19）
通过Matlab得出瞬态响应曲线理论波形，如图8所所示。
2.2 二阶PLL动态跟踪特性
2.2.1 输入信号相位突变
以理想积分环路滤波器作为PLL的LF，理想滤波器的传递函数如图3所示，即：[HF（s）=sτ2+1sτ1]。
那么误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （20）
[θes=θ1sHes=sΔθs2+2ζωns+ω2n] （21）
[θe（t）=Δθ（cos1-ζ2ωnt-ζ1-ζ2sin1-ζ2ωnt）e-ζωnt， ζ<1Δθ（1-ωnt）e-ωnt， ζ=1Δθ（coshζ2-1ωnt-ζζ2-1sinhζ2-1ωnt）e-ζωnt， ζ>1] （22）
[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δθ1+2ζωn1s+ω2ns2=0] （23）
式中：[ωn]为自然角频率；[ζ]为阻尼系数。通过Matlab仿真可得出理论波形如图9所示。
2.2.2 输入信号频率突变
同样误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （24）
[θes=Δωs2+2ζωns+ω2n] （25）
[θe（t）=Δωωn11-ζ2sin1-ζ2ωnte-ζωnt， ζ<1Δωωn（ωnt）e-ωnt， ζ=1Δωωn1ζ2-1sinhζ2-1ωnte-ζωnt，ζ>1] （26）
[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δω?ss2+2ζωns+ω2n=0] （27）
通过Matlab仿真可得出理论波形如图10所示。
3 锁相环动态跟踪特性仿真
本文利用Multisim 13构建了锁相环路的仿真模型，对于不同的输入信号，研究了输入信号突变时锁相环的动态跟踪特性。
of second?order PLL tracking signal
基于Multisim 13搭建锁相环电路，如图11所示。
电路说明如下：[V3]为正弦波信号源，即同步信号，其周期为1 ms，幅度为1 V；A1为模拟乘法器，[R1]和[C1]为低通滤波器，[A1，R1]和[C1]组成鉴相器；[R4，C4]和[U1]组成了理想低通滤波器，即PLL中的环路滤波器，该滤波器的参数决定了PLL环路的频率稳定性和压控性；[V4]为压控振荡器VCO。
3.1 锁相环的捕获与跟踪特性
为了便于观察锁相环跟踪后信号的频率与相位，将同步信号[V3]更换成脉冲信号，同时将[V4]更换成方波压控振荡器，此时看到输出信号与同步信号的频率一致，相位差为0，即实现同步跟踪，如图12所示。
3.2 一阶PLL动态跟踪特性
采用一阶PLL，即环路滤波采用直通电路，观察输入信号的频率和相位突变后，锁相环的跟踪特性。
在某一时刻改变输入同步信号的频率，即实现输入信号频率的突变，此时观察输出波形如图13所示，与理论波形图8相符合，即证明了一阶锁相环能实现对输入信号频率突变后的跟踪。
3.3 二阶PLL动态跟踪特性
采用二阶PLL，即环路滤波采用理想低通滤波器，观察输入信号的频率和相位突变后锁相环的跟踪特性。
3.3.1 输入信号相位突变
在输入信号后端接一个反相器，在某一时刻将输入信号的相位进行反向，即实现输入信号相位的阶跃，此时观察输出波形如图14所示，与理论波形图9相符合，即证明了一阶锁相环能实现对输入信号相位突变后的跟踪。
3.3.2 输入信号频率突变
在某一时刻改变输入同步信号的频率，即实现输入信号频率的突变，此时观察输出波形如图15所示，与理论波形图10相符合，即证明了一阶锁相环能实现对输入信号频率突变后的跟踪。
3.4 仿真结果分析
在基于传递函数锁相环的相位误差模型的基础上，通过搭建Multisim电路，研究了一阶和二阶锁相环的动态相频跟踪特性，并得出如下结论：
当输入信号相位突变时，一阶与二阶PLL都能实现对输入信号的跟踪，其稳态相差为零， VCO起到了积分的作用，是锁相环路中的固有积分环节。
一阶PLL对输入信号频率突变的跟踪： PLL在进行重新锁定时，VCO能够跟踪输入信号频率的变化，即VCO的振荡频率也变化[Δω，]则需要产生稳态相差：[θe（∞）=ΔωKp]。
二阶PLL对输入信号频率突变的跟踪：对于LF为理想积分滤波器的二阶PLL，锁相环的输出信号相位能够完全跟踪输入信号相位的变化，稳态后的相差为零；对于不是理想积分滤波器的二阶PLL，如： RC积分滤波器或者无源比例积分滤波器，则稳态相差为：[θe（∞）=ΔωKp。]
4 结 语
本文首先建立了基于传递函数的误差分析模型，在理论上分析了锁相环的动态相频跟踪特性，然后通过Multisim 13搭建锁相环仿真电路，该电路实现了对输入同步信号的捕获与跟踪，同时通过改变环路滤波器实现了一阶和二阶PLL对输入信号频率与相位突变后的跟踪，实验结果与理论分析一致。
参考文献
[1] 李宏恩.基于Multisim行扫描AFC锁相环电路仿真设计[J].电子科技，2015（5）：105?107.
LI Hongen. Simulation design of line scanning AFC PLL circuit based on Multisim [J]. Electronic science and technology， 2015（5）： 105?107.
[2] 谷涛.锁相环电路设计与仿真[D].南宁：广西民族大学，2015.
GU Tao. The design and simulation of phase locked loop circuit [D]. Nanning： Guangxi University for Nationalities， 2015.
[3] 侯衛周，向兵.基于Multisim10.1频率自动跟踪锁相环电路的仿真分析[J].实验室研究与探索，2014（6）：86?89.
HOU Weizhou， XIANG Bing. Simulation of phase locked loop circuit with frequency automatic tracking based on Multisim 10.1 [J]. Research and exploration in laboratory， 2014（6）： 86?89.
[4] 车保川，屈百达.基于74HC4046新型频率跟踪电路的研究[J].现代电子技术，2008，31（3）：188?190.
CHE Baochuan， QU Baida. Study on new frequency?tracking circuit based on 74HC4046 [J]. Modern electronics technique， 2008， 31（3）： 188?190.
[5] 王俊，李加琪，吴嗣亮.锁频环辅助下锁相环的跟踪误差分析[J].北京理工大学学报，2011（7）：838?843.
WANG Jun， LI Jiaqi， WU Siliang. Tracking error analysis of FLL?assisted?PLL [J]. Journal of Beijing Institute of Technology， 2011（7）： 838?843.
[6] 樊孝明.Multisim在“锁相与频率合成”课程教学中的应用[J].电气电子教学学报，2011（4）：106?108.
FAN Xiaoming. Application of Multisim to the teaching of the phase locked loop and frequency synthesis course [J]. Journal of electrical & electronic engineering education， 2011（4）： 106?108.
[7] 龚宇雷，王辉，李庆民.锁相环动态频相跟踪特性分析[J].山东大学学报（工学版），2008（4）：107?111.
GONG Yulei， WANG Hui， LI Qingmin. Analysis of the dynamic frequency?and phase?tracking characteristics of phase?locked loop [J]. Journal of Shandong University （engineering science）， 2008（4）： 107?111.
[8] 王刚，王艳芬，于洪珍.基于Multisim的锁相环应用电路仿真[J].电气电子教学学报，2008（3）：67?69.
WANG Gang， WANG Yanfen， YU Hongzhen. The simulation of PLL and its application circuit based on Multisim [J]. Journal of electrical & electronic engineering education， 2008（3）： 67?69.
[9] 周绍平，杜洪林.Multisim仿真在“高频电子技术”教学中的应用[J].扬州职业大学学报，2009（1）：49?51.
ZHOU Shaoping， DU Honglin. The application of Multisim simulation to the teaching of high frequency electronic technology [J]. Journal of Yangzhou Polytechnic College， 2009（1）： 49?51.
[10] 于波，呂秀丽，李玉爽.Multisim11在高频电子线路教学中的应用[J].现代电子技术，2011，34（10）：193?195.
YU Bo， L? Xiuli， LI Yushuang. Application of Multisim11 in high?frequency electronic circuit teaching [J]. Modern electronics technique， 2011， 34（10）： 193?195.
[11] 刘洋.浅谈Multisim11在通信技术教学中的应用[J].课程教育研究，2013（17）：240.
LIU Yang. Application of Multisim11 in communication technology teaching [J]. Course education research， 2013（17）： 240.
摘 要： 锁相环是一种相位误差自动控制系统，在通信领域有着广泛的应用。通过设计锁相环路，实现对输入信号的频率和相位突变时的跟踪。首先介绍锁相环路的基本原理，然后对一阶和二阶锁相环的动态跟踪特性進行分析，最后采用仿真软件Multisim 13.0设计仿真电路，针对一阶、二阶PLL的输入信号频率和相位突变时的情况进行仿真研究，实际仿真结果与理论分析相吻合。仿真结果表明，设计的锁相环路实现了对输入信号频率和相位突变后的跟踪。
关键词： 锁相环； 频率突变； 相位突变； 信号跟踪； 理论分析； Multisim
中图分类号： TN702?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）01?0051?06
Abstract： The phase?locked loop （PLL） is designed to realize signal tracking when the phase and frequency mutation of input signal occurs. The basic principle of the phase?locked loop is introduced in this paper. The dynamic tracking characteristics of the first?order and second?order PLLs are analyzed. The simulation software Multisim 13.0 is used to design the simulation circuit. The condition that the phase and frequency mutation of the input signal of the first?order and second?order PLLs occurs is simulated. The simulation result is identical with the theoretical analysis result. The simulation results show that the designed phase?locked loop can realize tracking when the input signal′s frequency and phase mutation occurs.
Keywords： phase?locked loop； frequency mutation； phase mutation； signal tracking； theoretical analysis； Multisim
0 引 言
锁相环（Phase Locked Loop）简称为PLL，是一种相位误差控制系统[1]。它能实现频率合成、调制解调、载波回复、信号检测等功能，在电子领域有着广泛的应用，目前锁相环在数字和模拟通信系统中成为不可缺少的部件。随着电子技术的快速发展，锁相环技术在信号测量、信号频率与相位的自动跟踪、雷达中的多普勒信号提取等领域发挥了重要的作用[2]，信号的频率与相位跟踪已成为科研与国防中的重要组成部分[3]。
1 锁相环的结构与工作原理
锁相环是一种相位反馈控制电路，它的基本原理是通过比较输出信号与输入信号之间的相位差，然后产生控制电压来调整压控振荡器的频率，实现输出信号与输入信号频率同步。锁相环由三个基本部件组成：鉴相器（PD）、环路滤波器（LF）和压控振荡器（VCO），如图1所示。
鉴相器（PD）的输出信号[vd]是输入信号[vi]和压控振荡器输出信号[vo]之间相位差的函数，常用的鉴相器有以下几类：数字鉴相器、抽样鉴相器、模拟相乘器鉴相器和鉴频鉴相器等[4?6]，鉴相器一般由乘法器加低通滤波器构成，如图2所示。
设锁相环的输入信号和压控振荡器的输出信号分别为[vi]和[vo]（单位：V）：
[vi（t）=Vimsin[ωi0t+θi（t）]=Vimsin[?i（t）]vo（t）=Vomcos[ωo0t+θo（t）]=Vomcos[?o（t）]] （1）
输入信号与输出信号经过乘法器得到：
[Kvi（t）vo（t）=12KVimVomsin[2ωo0t+θ1（t）+θ2（t）]+ K2VimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]] （2）
式中：[θ1（t）=（ωi0-ωo0）+θi（t）=Δω0t+θi（t）；θ2（t）=θo（t）]。
再经过低通滤波器后滤出[2ωo0]成分，得到误差电压：
[vd（t）=12KVimVomsin[θ1（t）-θ2（t）]=12KVimVomsin[?i（t）-?o（t）]] （3）
[vd（t）=f[?i（t）-?o（t）]] （4）
式中：[?i（t）]为输入信号[vi（t）]的瞬时全相位；[?o（t）]为压控振荡器输出信号[vo（t）]的瞬时全相位。
环路滤波器（LF）是一个低通滤波器，滤出误差信号[vd]中的高频分量，改善锁相环路的跟踪性能，同时保证环路的稳定性。锁相环中的LF有两个功能：第一，滤除误差信号中的高频分量；第二，为锁相环路提供一个短期记忆，当系统因为瞬时噪声而失锁时，可确保锁相环路能够迅速重新捕获信号[7?8]，在锁相环中通常采用一阶滤波器电路。当环路滤波器采用直通电路时，该锁相环为一阶PLL；当采用一阶滤波器电路时，该锁相环为二阶PLL。各种环路滤波器如图3所示。
压控振荡器（VCO）是根据电压产生本地振荡频率，振荡的频率受[vp]的控制，从而产生频率偏移，实现对输入信号频率的跟踪。压控振荡器的一般特性如图4所示。它的振荡频率与控制电压的关系可表示为：[ωo（t）=ωo0+g[vp（t）]，] 在某一特定的控制电压范围内，压控振荡器的振荡频率变化与控制电压成线性关系，即：[ωo（t）=ωo0+Kωvp（t）]。其中，[Kω]是该曲线的斜率，也称作为压控振荡器的调制灵敏度，单位为[rad/（S?V）]。
在锁相环路中，压控振荡器的输出瞬时相位对鉴相起作用，而不是瞬时角频率，VCO在锁相环中起到了积分作用，因此VCO也称为环路中的固有积分环节。
[φo（t）=ωo0t+Kω0tvp（λ）dλ=ωo0t+θ2（t）] （5）
压控振荡器对应的时域与频域模型如图5所示，其中[1p]为积分算子。
由此可得到PLL环路的相位数学模型，如图6所示。
2 锁相环的动态跟踪特性分析
由上述分析可知，锁相环中的鉴相器实际上是一个比例放大环节，而压控振荡器为积分环节，[HF（p）]为环路滤波器LF的传递函数，从相位数学模型可得到PLL环路的非线性微分方程：
[θ2（t）=Kdsin[θ1（t）-θ2（t）]?HF（p）?Kω?1p] （6）
[θ1（t）-θe（t）=Kdsinθe（t）?HF（p）?Kω?1p] （7）
[θe（t）+KdKωHF（p）psinθe（t）-θ1（t）=0] （8）
式中：[Kd=12KVimVom]为鉴相器的最大输出电压；[Kp=Kd?Kω]为环路增益，单位为[rad/s]。
定义三个PLL的传递函数。
误差传递函数：
[He（s）=θe（s）θ1（s）=ss+KpHF（s）] （9）
式（9）表示输入信号与压控振荡器输出信号之间的误差相位[θe（s）]与输入信号相位[θ1（s）]的关系，称为环路的误差传递函数。
闭环传递函数：
[Hc（s）=θ2（s）θ1（s）=KpHF（s）s+KpHF（s）] （10）
式（10）表示压控振荡器的输出信号相位[θ2（s）]与输入信号相位[θ1（s）]之间的关系，称为锁相环路的闭环传递函数。
开环传递函数：
[Ho（s）=θ2（s）θe（s）=KpHF（s）s] （11）
已经锁定后的环路，当输入信号的相位或频率发生某种突变时，环路将使压控振荡器的相位和频率能够跟踪输入信号的变化。在输入信号发生变化后的一段时间里，锁相环路有一瞬变的过程。这个瞬变的过程状况与PLL的组成有关，也与输入信号的相位或相位的变化规律有关[9]。这就是求出[θe（t），][θ2（t）]的過程。当瞬变过程结束后，锁相环路进入稳定状态。这时，压控振荡器的输出信号与输入信号有相同的频率和某一固定的相差，这个固定的相差称作为稳态相差。
2.1 一阶PLL动态跟踪特性
一阶PLL中环路滤波器为直通电路，将[HF（s）=1]代入到上述误差传递函数和闭环传递函数中，得到：
[Hc（s）=Kps+Kp，He（s）=ss+Kp]
误差相位的瞬态响应为：
[θes=Hesθ1sθet=L-1θes] （12）
稳态相差：
[θe（∞）=limt→∞θet=lims→0sθes] （13）
2.1.1 输入信号相位突变
输入信号相位阶跃，即：
[θ1t=Δθ，t>00，t<0，θ1（s）=Δθs]
那么误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[θes=ss+KpΔθs=Δθs+Kp] （14）
[θet=L-1Δθs+Kp=Δθ e-Kpt] （15）
[θe（∞）=lims→0sθes=0] （16）
一阶PLL跟踪信号相位突变特性曲线如图7所示。
2.1.2 输入信号频率突变
输入信号频率阶跃，即：
[ωit=ωo0+Δω，t>0ωo0，t<0] [θ1t=Δωt，t>00，t<0，θ1s=Δωs2]
那么误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[θes=ss+KpΔωs2=Δωss+Kp] （17）
[θet=L-1θes=ΔωKp1-e-Kpt] （18）
[θe（∞）=ΔωKp] （19）
通过Matlab得出瞬态响应曲线理论波形，如图8所所示。
2.2 二阶PLL动态跟踪特性
2.2.1 输入信号相位突变
以理想积分环路滤波器作为PLL的LF，理想滤波器的传递函数如图3所示，即：[HF（s）=sτ2+1sτ1]。
那么误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （20）
[θes=θ1sHes=sΔθs2+2ζωns+ω2n] （21）
[θe（t）=Δθ（cos1-ζ2ωnt-ζ1-ζ2sin1-ζ2ωnt）e-ζωnt， ζ<1Δθ（1-ωnt）e-ωnt， ζ=1Δθ（coshζ2-1ωnt-ζζ2-1sinhζ2-1ωnt）e-ζωnt， ζ>1] （22）
[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δθ1+2ζωn1s+ω2ns2=0] （23）
式中：[ωn]为自然角频率；[ζ]为阻尼系数。通过Matlab仿真可得出理论波形如图9所示。
2.2.2 输入信号频率突变
同样误差相位的瞬态响应与稳态相差分别为：
[Hes=s2s2+2ζωns+ω2n] （24）
[θes=Δωs2+2ζωns+ω2n] （25）
[θe（t）=Δωωn11-ζ2sin1-ζ2ωnte-ζωnt， ζ<1Δωωn（ωnt）e-ωnt， ζ=1Δωωn1ζ2-1sinhζ2-1ωnte-ζωnt，ζ>1] （26）
[θe（∞）=lims→0sθe（s）=lims→0Δω?ss2+2ζωns+ω2n=0] （27）
通过Matlab仿真可得出理论波形如图10所示。
3 锁相环动态跟踪特性仿真
本文利用Multisim 13构建了锁相环路的仿真模型，对于不同的输入信号，研究了输入信号突变时锁相环的动态跟踪特性。
of second?order PLL tracking signal
基于Multisim 13搭建锁相环电路，如图11所示。
电路说明如下：[V3]为正弦波信号源，即同步信号，其周期为1 ms，幅度为1 V；A1为模拟乘法器，[R1]和[C1]为低通滤波器，[A1，R1]和[C1]组成鉴相器；[R4，C4]和[U1]组成了理想低通滤波器，即PLL中的环路滤波器，该滤波器的参数决定了PLL环路的频率稳定性和压控性；[V4]为压控振荡器VCO。
3.1 锁相环的捕获与跟踪特性
为了便于观察锁相环跟踪后信号的频率与相位，将同步信号[V3]更换成脉冲信号，同时将[V4]更换成方波压控振荡器，此时看到输出信号与同步信号的频率一致，相位差为0，即实现同步跟踪，如图12所示。
3.2 一阶PLL动态跟踪特性
采用一阶PLL，即环路滤波采用直通电路，观察输入信号的频率和相位突变后，锁相环的跟踪特性。
在某一时刻改变输入同步信号的频率，即实现输入信号频率的突变，此时观察输出波形如图13所示，与理论波形图8相符合，即证明了一阶锁相环能实现对输入信号频率突变后的跟踪。
3.3 二阶PLL动态跟踪特性
采用二阶PLL，即环路滤波采用理想低通滤波器，观察输入信号的频率和相位突变后锁相环的跟踪特性。
3.3.1 输入信号相位突变
在输入信号后端接一个反相器，在某一时刻将输入信号的相位进行反向，即实现输入信号相位的阶跃，此时观察输出波形如图14所示，与理论波形图9相符合，即证明了一阶锁相环能实现对输入信号相位突变后的跟踪。
3.3.2 输入信号频率突变
在某一时刻改变输入同步信号的频率，即实现输入信号频率的突变，此时观察输出波形如图15所示，与理论波形图10相符合，即证明了一阶锁相环能实现对输入信号频率突变后的跟踪。
3.4 仿真结果分析
在基于传递函数锁相环的相位误差模型的基础上，通过搭建Multisim电路，研究了一阶和二阶锁相环的动态相频跟踪特性，并得出如下结论：
当输入信号相位突变时，一阶与二阶PLL都能实现对输入信号的跟踪，其稳态相差为零， VCO起到了积分的作用，是锁相环路中的固有积分环节。
一阶PLL对输入信号频率突变的跟踪： PLL在进行重新锁定时，VCO能够跟踪输入信号频率的变化，即VCO的振荡频率也变化[Δω，]则需要产生稳态相差：[θe（∞）=ΔωKp]。
二阶PLL对输入信号频率突变的跟踪：对于LF为理想积分滤波器的二阶PLL，锁相环的输出信号相位能够完全跟踪输入信号相位的变化，稳态后的相差为零；对于不是理想积分滤波器的二阶PLL，如： RC积分滤波器或者无源比例积分滤波器，则稳态相差为：[θe（∞）=ΔωKp。]
4 结 语
本文首先建立了基于传递函数的误差分析模型，在理论上分析了锁相环的动态相频跟踪特性，然后通过Multisim 13搭建锁相环仿真电路，该电路实现了对输入同步信号的捕获与跟踪，同时通过改变环路滤波器实现了一阶和二阶PLL对输入信号频率与相位突变后的跟踪，实验结果与理论分析一致。
参考文献
[1] 李宏恩.基于Multisim行扫描AFC锁相环电路仿真设计[J].电子科技，2015（5）：105?107.
LI Hongen. Simulation design of line scanning AFC PLL circuit based on Multisim [J]. Electronic science and technology， 2015（5）： 105?107.
[2] 谷涛.锁相环电路设计与仿真[D].南宁：广西民族大学，2015.
GU Tao. The design and simulation of phase locked loop circuit [D]. Nanning： Guangxi University for Nationalities， 2015.
[3] 侯衛周，向兵.基于Multisim10.1频率自动跟踪锁相环电路的仿真分析[J].实验室研究与探索，2014（6）：86?89.
HOU Weizhou， XIANG Bing. Simulation of phase locked loop circuit with frequency automatic tracking based on Multisim 10.1 [J]. Research and exploration in laboratory， 2014（6）： 86?89.
[4] 车保川，屈百达.基于74HC4046新型频率跟踪电路的研究[J].现代电子技术，2008，31（3）：188?190.
CHE Baochuan， QU Baida. Study on new frequency?tracking circuit based on 74HC4046 [J]. Modern electronics technique， 2008， 31（3）： 188?190.
[5] 王俊，李加琪，吴嗣亮.锁频环辅助下锁相环的跟踪误差分析[J].北京理工大学学报，2011（7）：838?843.
WANG Jun， LI Jiaqi， WU Siliang. Tracking error analysis of FLL?assisted?PLL [J]. Journal of Beijing Institute of Technology， 2011（7）： 838?843.
[6] 樊孝明.Multisim在“锁相与频率合成”课程教学中的应用[J].电气电子教学学报，2011（4）：106?108.
FAN Xiaoming. Application of Multisim to the teaching of the phase locked loop and frequency synthesis course [J]. Journal of electrical & electronic engineering education， 2011（4）： 106?108.
[7] 龚宇雷，王辉，李庆民.锁相环动态频相跟踪特性分析[J].山东大学学报（工学版），2008（4）：107?111.
GONG Yulei， WANG Hui， LI Qingmin. Analysis of the dynamic frequency?and phase?tracking characteristics of phase?locked loop [J]. Journal of Shandong University （engineering science）， 2008（4）： 107?111.
[8] 王刚，王艳芬，于洪珍.基于Multisim的锁相环应用电路仿真[J].电气电子教学学报，2008（3）：67?69.
WANG Gang， WANG Yanfen， YU Hongzhen. The simulation of PLL and its application circuit based on Multisim [J]. Journal of electrical & electronic engineering education， 2008（3）： 67?69.
[9] 周绍平，杜洪林.Multisim仿真在“高频电子技术”教学中的应用[J].扬州职业大学学报，2009（1）：49?51.
ZHOU Shaoping， DU Honglin. The application of Multisim simulation to the teaching of high frequency electronic technology [J]. Journal of Yangzhou Polytechnic College， 2009（1）： 49?51.
[10] 于波，呂秀丽，李玉爽.Multisim11在高频电子线路教学中的应用[J].现代电子技术，2011，34（10）：193?195.
YU Bo， L? Xiuli， LI Yushuang. Application of Multisim11 in high?frequency electronic circuit teaching [J]. Modern electronics technique， 2011， 34（10）： 193?195.
[11] 刘洋.浅谈Multisim11在通信技术教学中的应用[J].课程教育研究，2013（17）：240.
LIU Yang. Application of Multisim11 in communication technology teaching [J]. Course education research， 2013（17）： 240.
