基于粒子滤波的混沌时间序列局域多步预测
姜娇娇+郭俊+杨淑莹
摘 要： 对混沌时间序列进行预测研究具有重要的价值和实用性，例如，进行股票预测，降雨量预测，温度预测。混沌时间序列预测的难点在于其不确定性和多步预测的困难性。一般利用最小二乘法求解模型参数，从而对混沌时间序列进行局域预测，但是预测精度不是很高。为了提高局域线性预测的精度，提出基于粒子滤波（PF）的混沌时间序列局域多步预测法，利用粒子滤波进行参数优化得到更准确的优化模型进行多步预测。仿真实验结果表明，该方法的单步和多步预测效果明显得到了提升。
关键词： 局域线性预测； 混沌时间序列； 粒子滤波； 多步预测； 邻近点； 预测误差
中图分类号： TN911.1?34； O415.5 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）01?0043?04
Abstract： It has important value and practicability （such as stock forecasting， rainfall forecasting and temperature forecasting） to predict the chaotic time series. It is difficult to predict the chaotic time series due to its uncertainty and realization of multi?step prediction. The least square method is used to solve the model parameters and perform local prediction for the chaotic time series， but has low prediction accuracy. In order to improve the accuracy of local linear prediction， a local multi?step prediction method based on particle filtering （PF） is proposed for chaotic time series. The particle filtering is adopted to optimize the parameters to obtain more accurate optimization model for multi?step prediction. Simulation results show that the multi?step and single?step prediction effects of this method are improved significantly.
Keywords： local linear prediction； chaotic time series； particle filtering； multi?step prediction； adjacent point； predition error
0 引 言
混沌是确定的非线性动力系统产生的复杂行为，将混沌理论与时间序列预测相结合的思想从一开始就得到了广大学者的关注。经过大量研究表明，混沌理论一方面表明之前被判定为不可预测的复杂系统同样具有可预测性，另一方面也表明对之前可预测的系统建立的预测模型具有一定的局限性。
近几十年来，大量的学者已经提出了很多预测混沌时间序列的模型。预测模型可分为两类：第一类为全局预测模型，例如，基于RBF神经网络的预测模型[1]，通过对所有历史值的训练，求出输入层→隐含层、隐含层→输出层之间的连接权值，从而实现混沌时间序列的预测。但是，当有新的数据加入，需要重新对历史数据进行训练，计算量比较大，而且预测效果也不是很好。第二类为局域预测模型，局域预测模型计算量较少，且预测效果比较好。加权一阶局域自回归模型是目前比较常用的局域预测方法[2] ，但是预测效果并不是很好。
为了提高局域预测的精度，本文提出基于粒子滤波的加权一阶局域自回归模型方法，通过粒子滤波实现对线性预测模型参数的优化。首先，利用确定嵌入维数和延迟时间来重构相空间。其次，确定最优邻近点的选取十分重要。选出最佳邻近点，构建局域线性预测模型。最后利用粒子滤波对预测结果进行寻优，得到最佳的混沌时间序列的预测模型。将求得的预测数据加入到原始时间序列中，重新选取最佳临近点建立预测模型，计算对应预测方程参数，重复上述步骤，从而实现对混沌时间序列的多步预测。
1 最优邻近点的选取
相空间重构作为混沌预测的基础，是以Takens定理为保证，Takens定理保证了可以从一维时间序列中重构一个与原系统在拓扑意义下等价的相空间[3]。 Takens说明了只要找到一个合适的嵌入维数，即如果延迟坐标的维数[M≥2d+1]是动力系统的维数，这个嵌入后的相空间就能把吸引子轨迹恢复出来。这样重构后的相空间将具有与原动力系统相同的几何性质，并与原动力系统在拓扑意义下等价。
用时间序列[x（t）]和它的[m-1]时滞位移构成一个新的[m]维嵌入相空间，即：
[Y（t）=x（t），x（t+τ）， …，xt+（m-1）τT] （1）
式中：[τ]为延迟时间；嵌入维数[m]满足[m≥2d+1]。
邻近点的选取是局域预测的重要步骤，邻近点的选择越合理，拟合出的回归模型预测精度越高。现有的邻近点的选择大致可分为欧氏距离[4]和相关系数法[5]，这两种方法都是只从一个方面来分析，欧氏距离只是以相邻空间中点之间的距离远近作为选择准则，而相关系数是以混沌轨道一步演化的相关性作为衡量标准。本文将两种方法结合，先用欧氏距离确定多个邻近点，再由相关系数法筛选出[T]个邻近点。
设[X（n）]为混沌吸引子的预测起始点，[k]为选取邻近点的个数，[X（Ni-1）]为[X（Ni）]的一步回溯点，[i=1，2，…，k。]
定义1：[X（n）]和[X（Ni）]之间的距离为：
[d（n，Ni）=X（n）-X（Ni）] （2）
由定义1可知，[d（n，Ni）]越小，两点之间的距离越近。选取[k]个邻近点，[X（Ni），i=1，2，…，k]。
定义2：[X（n）]和[X（Ni），i=1，2，…，k，]之间的移动距离相似度为：
[δ（n，Ni）=maxdn-dNi-dn-dNimaxdn-dNi-mindn-dNi] （3）
式中：[dn=X（n）-X（n-1）；][dNi=X（Ni）-X（Ni-1）；][δ（n，Ni）∈[0，1]，]且[δ（n，Ni）]越大，代表邻近点的一步运动距离与[x（n）]的一步运动距离越相近。
定义3：[X（n）]和[X（Ni），i=1，2，…，k]之间的移动方向相似度为：
[θn，Ni=X（n）-X（n-1），X（Ni）-X（Ni-1）X（n）-X（n-1） ×X（Ni）-X（Ni-1）] （4）
定义4：[X（n）]和[X（Ni），i=1，2，…，k]之间的向量相似度为：
[μ（n，Ni）=α δ（n，Ni）+（1-α） θ（n，Ni）] （5）
式中：[α∈0，1]为调节[δn，Ni]和[θ（n，Ni）]的比例因子，通常可取0.5；[μ（n，Ni）]越大，相似度越高。
通过定义1求得[k]个距离最近的点，再由定义2～定义4筛选出最优的[T]个邻近点。
2 粒子滤波优化求最优预测
选出邻近点[X（Ni） ， i=1，2，…，T，][Ni]表示第[i]个邻近点在原时间序列中的序号，同时可查询邻近点的预测值[x（Ni+p），][p]表示预测的步长。通过最小二乘法对邻近点和它的[p]步预测值[x（Ni+p），X（Ni），][i=1，2，…，T]进行拟合，即可得到一阶加权线性自回归模型，用当前点[X（n）]代入，即可得到预测值[x（n+p）]，局域线性自回归模型为：
[x（n+p）=a0+i=1maixn-（i-1）τ=a0+A（n）X（n）] （6）
式中[A（n）=[a1，a2，…，am]]。
本文采用迭代的方法进行多步预测，即[p=1]。不断将预测得到的数据加入到原始时间序列中去，动态更新模型中的参数，同时利用PF算法[6]不停地修正预测数据，以提高预测的精度。
始终将局域一阶自回归模型作为粒子的状态转移方程，将初始参数辨识结果，即[n]时刻的模型系数作为粒子滤波贝叶斯估计的先验概率[p（φmn）]。再从先验分布[p（φp，qk）]中采集粒子，对其加以一定的擾动，得到一组粒子集[（φmn）N]，其中[N]表示粒子个数。从而可以得到一组粒子滤波的状态转移方程，其后验概率参考分布可表示为[p（φmn）jX（Ni），j=1，2，…，N；i=1，2，…，T]。
为了评价粒子，将同时拟合[M]个邻近点系统状态估计值：
[x（Ni+1）1x（Ni+1）2?x（Ni+1）N=（φmn）1（φmn）2?（φmn）N [X（Ni）]T ] （7）
式中：[x（Ni+1）j]表示由第[j]个粒子即第[j]组扰动后的参数拟合得到的第[i]个邻近点的系统状态估计值，其中[i=1，2，…，M]。粒子的权值由拟合值与真实值之间的距离决定：
[djn=i=1Mx（Ni+1）j-x（Ni+1）M] （8）
式中[djn]为[n]时刻第[j]个粒子的权值依据。
为了获得更接近真实值的粒子，将粒子的权值利用高斯函数进行分布：
[ωjn=12πσexp-djn2σ2] （9）
式中：[σ]为常数；[ωjn]表示[n]时刻第[j]个粒子的权值。
计算出所有粒子的权值，再将权值进行标准化处理：
[ωjn=ωjni=1Nωjn] （10）
利用式（10）得到标准化后的权值[i=1Nωjn=1]。根据式（7），将[X（n）]代入预测模型，得到[N]个预测值[x（n+1）j，][j=1，2，…，N。]利用加权准则确定最终的预测值：
[xopt（n+1）=j=1Nx（n+1）ωjn] （11）
根据式（11）即可获得一步预测的值，将一步预测的值代入到原时间序列中，重复上述步骤即可进行多步预测。
3 仿真及结果分析
为验证本文算法的优越性，在计算仿真实验中，使用Lorenz模型[7]的[X]分量生成的时间序列进行验证。
Lorenz混沌流：
[dxdt=-c（x-y）dydt=ax-y-xzdzdt=b（xy-z）] （12）
式中：[c=10， b=83， a=34，]用四阶Runge?Kutta算法[8]求解，选定采样间隔[f=0.01，]初始序列值为[[-1，0，1]]。获取混沌系统一维时间序列[{x（t），t=1，2，…}]。
获得8 000个数据点，选其中的后600个数据点作为仿真数据[x（t）]，对时间序列[x（n）]进行归一化处理。通过互信息法求得延迟时间[τ=10]。通过基于预测误差最小的原则选取最佳的嵌入维数[m=3，]预测模型选用Volterra自适应模型[9?10]。邻近点个数选为10，粒子个数为50。
选取原混沌时间序列的600个数据作为序列样本，利用提出的方法进行多步预测，并与常用方法做比较实验，预测结果如图1所示。图中横坐标为预测的步数，图中“+”为原始值，“o”为预测值。对其后的1 000个数据分别进行一步、三步、五步预测，以预测均方根误差作为评价的准则，仿真结果如表1所示。每种方法的一步预测结果及误差如图2所示。
对Lorenz模型生成的时间序列，从图1可见，加权一阶局域预测法只在280步之内有效；基于神经网络的语句预测法也只在260步之内有效；而本文提出的基于粒子滤波的局域预测法在400步之内有效，从第400步开始误差增加。所以所提出方法能更好地进行多步预测，而且多步预测性能明显好于一阶加权的局域预测方法和局域神经网络预测方法。从表1可见，基于粒子滤波的局域预测法前五步预测的误差最小，更进一步得出基于粒子滤波的局域线性预测的方法更加精确。
4 结 论
本文提出基于粒子滤波局域线性预测，通过粒子滤波对局域预测模型参数进行进一步优化，使得预测模型具有更好的预测精度。改进的局域预测模型的一步和多步预测结果明显提高了预测的步数和预测的精度，提高了预测性能。
参考文献
[1] CHEN Diyi， HAN Wenting. Prediction of multivariate chaotic time series via radial basis function neural network [J]. Complexity， 2013， 18（4）： 55?66.
[2] L? Jinhu， ZHANG Suochun. Application of adding?weight one?rank local?region method in electric power system short?term load forecast [J]. Control theory and applications， 2002， 19（5）： 764?770.
[3] TAKENS F. Detecting strange attractors in turbulence [M]// Anon. Dynamical systems and turbulence. Warwick： Springer Berlin Heidelberg， 1981： 366?381.
[4] DONG Xu， WEI Zhenjun. A clustering method of euclid distance with weights [J]. Journal of Information Engineering University， 2005， 6（1）： 23?25.
[5] ZHU Zhiyu. Particle filter algorithm and its application [M]. Beijing： Science Press， 2010.
[6] WON S P， MELEK W W， GOLNARAGHI F. A Kalman/particle filter?based position and orientation estimation method using a position sensor/inertial measurement unit hybrid system industrial electronics [J]. IEEE transactions on industrial electronics， 2010， 57（5）： 1787?1798.
[7] SHUI P L， SHI S N， LU J， et al. Detection of nonlinear FM signals via forward?backward cost?reference particle filter [J]. Digital signal processing， 2016， 48： 104?115.
[8] YANG T， LAUGESEN R S， MEHTA P G， et al. Multivariable feedback particle filter [C]// Proceedings of 2012 IEEE the 51st IEEE Conference on Decision and Control. [S.l.]： IEEE， 2012： 4063?4070.
[9] ZHU A， BRAZIL T J. Behavioral modeling of RF power amplifiers based on pruned Volterra series [J]. IEEE microwave and wireless components letters， 2004， 14（12）： 563?565.
[10] VAIDYANATHAN S. Adaptive synchronization of generalized Lotka?Volterra three?species biological systems [J]. International journal of pharmtech research， 2015， 8（5）： 928?937.
摘 要： 对混沌时间序列进行预测研究具有重要的价值和实用性，例如，进行股票预测，降雨量预测，温度预测。混沌时间序列预测的难点在于其不确定性和多步预测的困难性。一般利用最小二乘法求解模型参数，从而对混沌时间序列进行局域预测，但是预测精度不是很高。为了提高局域线性预测的精度，提出基于粒子滤波（PF）的混沌时间序列局域多步预测法，利用粒子滤波进行参数优化得到更准确的优化模型进行多步预测。仿真实验结果表明，该方法的单步和多步预测效果明显得到了提升。
关键词： 局域线性预测； 混沌时间序列； 粒子滤波； 多步预测； 邻近点； 预测误差
中图分类号： TN911.1?34； O415.5 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）01?0043?04
Abstract： It has important value and practicability （such as stock forecasting， rainfall forecasting and temperature forecasting） to predict the chaotic time series. It is difficult to predict the chaotic time series due to its uncertainty and realization of multi?step prediction. The least square method is used to solve the model parameters and perform local prediction for the chaotic time series， but has low prediction accuracy. In order to improve the accuracy of local linear prediction， a local multi?step prediction method based on particle filtering （PF） is proposed for chaotic time series. The particle filtering is adopted to optimize the parameters to obtain more accurate optimization model for multi?step prediction. Simulation results show that the multi?step and single?step prediction effects of this method are improved significantly.
Keywords： local linear prediction； chaotic time series； particle filtering； multi?step prediction； adjacent point； predition error
0 引 言
混沌是确定的非线性动力系统产生的复杂行为，将混沌理论与时间序列预测相结合的思想从一开始就得到了广大学者的关注。经过大量研究表明，混沌理论一方面表明之前被判定为不可预测的复杂系统同样具有可预测性，另一方面也表明对之前可预测的系统建立的预测模型具有一定的局限性。
近几十年来，大量的学者已经提出了很多预测混沌时间序列的模型。预测模型可分为两类：第一类为全局预测模型，例如，基于RBF神经网络的预测模型[1]，通过对所有历史值的训练，求出输入层→隐含层、隐含层→输出层之间的连接权值，从而实现混沌时间序列的预测。但是，当有新的数据加入，需要重新对历史数据进行训练，计算量比较大，而且预测效果也不是很好。第二类为局域预测模型，局域预测模型计算量较少，且预测效果比较好。加权一阶局域自回归模型是目前比较常用的局域预测方法[2] ，但是预测效果并不是很好。
为了提高局域预测的精度，本文提出基于粒子滤波的加权一阶局域自回归模型方法，通过粒子滤波实现对线性预测模型参数的优化。首先，利用确定嵌入维数和延迟时间来重构相空间。其次，确定最优邻近点的选取十分重要。选出最佳邻近点，构建局域线性预测模型。最后利用粒子滤波对预测结果进行寻优，得到最佳的混沌时间序列的预测模型。将求得的预测数据加入到原始时间序列中，重新选取最佳临近点建立预测模型，计算对应预测方程参数，重复上述步骤，从而实现对混沌时间序列的多步预测。
1 最优邻近点的选取
相空间重构作为混沌预测的基础，是以Takens定理为保证，Takens定理保证了可以从一维时间序列中重构一个与原系统在拓扑意义下等价的相空间[3]。 Takens说明了只要找到一个合适的嵌入维数，即如果延迟坐标的维数[M≥2d+1]是动力系统的维数，这个嵌入后的相空间就能把吸引子轨迹恢复出来。这样重构后的相空间将具有与原动力系统相同的几何性质，并与原动力系统在拓扑意义下等价。
用时间序列[x（t）]和它的[m-1]时滞位移构成一个新的[m]维嵌入相空间，即：
[Y（t）=x（t），x（t+τ）， …，xt+（m-1）τT] （1）
式中：[τ]为延迟时间；嵌入维数[m]满足[m≥2d+1]。
邻近点的选取是局域预测的重要步骤，邻近点的选择越合理，拟合出的回归模型预测精度越高。现有的邻近点的选择大致可分为欧氏距离[4]和相关系数法[5]，这两种方法都是只从一个方面来分析，欧氏距离只是以相邻空间中点之间的距离远近作为选择准则，而相关系数是以混沌轨道一步演化的相关性作为衡量标准。本文将两种方法结合，先用欧氏距离确定多个邻近点，再由相关系数法筛选出[T]个邻近点。
设[X（n）]为混沌吸引子的预测起始点，[k]为选取邻近点的个数，[X（Ni-1）]为[X（Ni）]的一步回溯点，[i=1，2，…，k。]
定义1：[X（n）]和[X（Ni）]之间的距离为：
[d（n，Ni）=X（n）-X（Ni）] （2）
由定义1可知，[d（n，Ni）]越小，两点之间的距离越近。选取[k]个邻近点，[X（Ni），i=1，2，…，k]。
定义2：[X（n）]和[X（Ni），i=1，2，…，k，]之间的移动距离相似度为：
[δ（n，Ni）=maxdn-dNi-dn-dNimaxdn-dNi-mindn-dNi] （3）
式中：[dn=X（n）-X（n-1）；][dNi=X（Ni）-X（Ni-1）；][δ（n，Ni）∈[0，1]，]且[δ（n，Ni）]越大，代表邻近点的一步运动距离与[x（n）]的一步运动距离越相近。
定义3：[X（n）]和[X（Ni），i=1，2，…，k]之间的移动方向相似度为：
[θn，Ni=X（n）-X（n-1），X（Ni）-X（Ni-1）X（n）-X（n-1） ×X（Ni）-X（Ni-1）] （4）
定义4：[X（n）]和[X（Ni），i=1，2，…，k]之间的向量相似度为：
[μ（n，Ni）=α δ（n，Ni）+（1-α） θ（n，Ni）] （5）
式中：[α∈0，1]为调节[δn，Ni]和[θ（n，Ni）]的比例因子，通常可取0.5；[μ（n，Ni）]越大，相似度越高。
通过定义1求得[k]个距离最近的点，再由定义2～定义4筛选出最优的[T]个邻近点。
2 粒子滤波优化求最优预测
选出邻近点[X（Ni） ， i=1，2，…，T，][Ni]表示第[i]个邻近点在原时间序列中的序号，同时可查询邻近点的预测值[x（Ni+p），][p]表示预测的步长。通过最小二乘法对邻近点和它的[p]步预测值[x（Ni+p），X（Ni），][i=1，2，…，T]进行拟合，即可得到一阶加权线性自回归模型，用当前点[X（n）]代入，即可得到预测值[x（n+p）]，局域线性自回归模型为：
[x（n+p）=a0+i=1maixn-（i-1）τ=a0+A（n）X（n）] （6）
式中[A（n）=[a1，a2，…，am]]。
本文采用迭代的方法进行多步预测，即[p=1]。不断将预测得到的数据加入到原始时间序列中去，动态更新模型中的参数，同时利用PF算法[6]不停地修正预测数据，以提高预测的精度。
始终将局域一阶自回归模型作为粒子的状态转移方程，将初始参数辨识结果，即[n]时刻的模型系数作为粒子滤波贝叶斯估计的先验概率[p（φmn）]。再从先验分布[p（φp，qk）]中采集粒子，对其加以一定的擾动，得到一组粒子集[（φmn）N]，其中[N]表示粒子个数。从而可以得到一组粒子滤波的状态转移方程，其后验概率参考分布可表示为[p（φmn）jX（Ni），j=1，2，…，N；i=1，2，…，T]。
为了评价粒子，将同时拟合[M]个邻近点系统状态估计值：
[x（Ni+1）1x（Ni+1）2?x（Ni+1）N=（φmn）1（φmn）2?（φmn）N [X（Ni）]T ] （7）
式中：[x（Ni+1）j]表示由第[j]个粒子即第[j]组扰动后的参数拟合得到的第[i]个邻近点的系统状态估计值，其中[i=1，2，…，M]。粒子的权值由拟合值与真实值之间的距离决定：
[djn=i=1Mx（Ni+1）j-x（Ni+1）M] （8）
式中[djn]为[n]时刻第[j]个粒子的权值依据。
为了获得更接近真实值的粒子，将粒子的权值利用高斯函数进行分布：
[ωjn=12πσexp-djn2σ2] （9）
式中：[σ]为常数；[ωjn]表示[n]时刻第[j]个粒子的权值。
计算出所有粒子的权值，再将权值进行标准化处理：
[ωjn=ωjni=1Nωjn] （10）
利用式（10）得到标准化后的权值[i=1Nωjn=1]。根据式（7），将[X（n）]代入预测模型，得到[N]个预测值[x（n+1）j，][j=1，2，…，N。]利用加权准则确定最终的预测值：
[xopt（n+1）=j=1Nx（n+1）ωjn] （11）
根据式（11）即可获得一步预测的值，将一步预测的值代入到原时间序列中，重复上述步骤即可进行多步预测。
3 仿真及结果分析
为验证本文算法的优越性，在计算仿真实验中，使用Lorenz模型[7]的[X]分量生成的时间序列进行验证。
Lorenz混沌流：
[dxdt=-c（x-y）dydt=ax-y-xzdzdt=b（xy-z）] （12）
式中：[c=10， b=83， a=34，]用四阶Runge?Kutta算法[8]求解，选定采样间隔[f=0.01，]初始序列值为[[-1，0，1]]。获取混沌系统一维时间序列[{x（t），t=1，2，…}]。
获得8 000个数据点，选其中的后600个数据点作为仿真数据[x（t）]，对时间序列[x（n）]进行归一化处理。通过互信息法求得延迟时间[τ=10]。通过基于预测误差最小的原则选取最佳的嵌入维数[m=3，]预测模型选用Volterra自适应模型[9?10]。邻近点个数选为10，粒子个数为50。
选取原混沌时间序列的600个数据作为序列样本，利用提出的方法进行多步预测，并与常用方法做比较实验，预测结果如图1所示。图中横坐标为预测的步数，图中“+”为原始值，“o”为预测值。对其后的1 000个数据分别进行一步、三步、五步预测，以预测均方根误差作为评价的准则，仿真结果如表1所示。每种方法的一步预测结果及误差如图2所示。
对Lorenz模型生成的时间序列，从图1可见，加权一阶局域预测法只在280步之内有效；基于神经网络的语句预测法也只在260步之内有效；而本文提出的基于粒子滤波的局域预测法在400步之内有效，从第400步开始误差增加。所以所提出方法能更好地进行多步预测，而且多步预测性能明显好于一阶加权的局域预测方法和局域神经网络预测方法。从表1可见，基于粒子滤波的局域预测法前五步预测的误差最小，更进一步得出基于粒子滤波的局域线性预测的方法更加精确。
4 结 论
本文提出基于粒子滤波局域线性预测，通过粒子滤波对局域预测模型参数进行进一步优化，使得预测模型具有更好的预测精度。改进的局域预测模型的一步和多步预测结果明显提高了预测的步数和预测的精度，提高了预测性能。
参考文献
[1] CHEN Diyi， HAN Wenting. Prediction of multivariate chaotic time series via radial basis function neural network [J]. Complexity， 2013， 18（4）： 55?66.
[2] L? Jinhu， ZHANG Suochun. Application of adding?weight one?rank local?region method in electric power system short?term load forecast [J]. Control theory and applications， 2002， 19（5）： 764?770.
[3] TAKENS F. Detecting strange attractors in turbulence [M]// Anon. Dynamical systems and turbulence. Warwick： Springer Berlin Heidelberg， 1981： 366?381.
[4] DONG Xu， WEI Zhenjun. A clustering method of euclid distance with weights [J]. Journal of Information Engineering University， 2005， 6（1）： 23?25.
[5] ZHU Zhiyu. Particle filter algorithm and its application [M]. Beijing： Science Press， 2010.
[6] WON S P， MELEK W W， GOLNARAGHI F. A Kalman/particle filter?based position and orientation estimation method using a position sensor/inertial measurement unit hybrid system industrial electronics [J]. IEEE transactions on industrial electronics， 2010， 57（5）： 1787?1798.
[7] SHUI P L， SHI S N， LU J， et al. Detection of nonlinear FM signals via forward?backward cost?reference particle filter [J]. Digital signal processing， 2016， 48： 104?115.
[8] YANG T， LAUGESEN R S， MEHTA P G， et al. Multivariable feedback particle filter [C]// Proceedings of 2012 IEEE the 51st IEEE Conference on Decision and Control. [S.l.]： IEEE， 2012： 4063?4070.
[9] ZHU A， BRAZIL T J. Behavioral modeling of RF power amplifiers based on pruned Volterra series [J]. IEEE microwave and wireless components letters， 2004， 14（12）： 563?565.
[10] VAIDYANATHAN S. Adaptive synchronization of generalized Lotka?Volterra three?species biological systems [J]. International journal of pharmtech research， 2015， 8（5）： 928?937.
